「溶液」について
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私立 東京薬科大学 2016年 第1問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
国立 小樽商科大学 2014年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補いなさい．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$．
私立 北海道医療大学 2013年 第2問ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある．今，次のような手順を繰り返して行うとする．
\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ，その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる．
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し，その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる．
(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする．$a_1,\ b_1$の値を求めよ．
(2)この手順を$n$回（$n \geqq 2$）行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする．$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．また，$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき，$c_n$の値を求めよ．
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき，$d_n$を$n$の式で表せ．
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは，この手順を何回繰り返した後か．
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ，その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる．
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し，その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる．
(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする．$a_1,\ b_1$の値を求めよ．
(2)この手順を$n$回（$n \geqq 2$）行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$，ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする．$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．また，$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ．
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき，$c_n$の値を求めよ．
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき，$d_n$を$n$の式で表せ．
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは，この手順を何回繰り返した後か．
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ．
国立 福島大学 2011年 第3問以下の問いに答えなさい．
(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．
(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．
私立 神戸薬科大学 2010年 第2問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．
(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[ ] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[ ]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．
(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[ ] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[ ]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．