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東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2016年 第1問
次の問に答えよ.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.

(1)$x^2+5x+1=0$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である.

(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である.

(3)点$(4,\ 2)$を通り,傾きが$m$の直線$\ell$が,円$C:x^2+y^2=4$に接するとき,$\displaystyle m=[ケ]$,$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.

(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$,容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている.今,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し,$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ,$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ,$2$つの容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった.このとき,容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である.ただし,質量パーセント濃度とは溶液(本問の場合,食塩水)の質量に対する溶質(本問の場合,食塩)の質量の割合を百分率($\%$)で表したものである.
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2014年 第1問
次の$[ ]$の中を適当に補いなさい.

(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき,この操作を複数回行い,元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには,最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[ ]$回以上.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある.下図のように,この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と,$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる.$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$(ただし$t>0$)とし,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき,$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[ ]$.
(図は省略)
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し,千の位,百の位,十の位,一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする.$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり,$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある.このとき,$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[ ]$.
北海道医療大学 私立 北海道医療大学 2013年 第2問
ある薬品$30 \mathrm{g}$を純水$70 \mathrm{g}$に溶かした溶液が入ったビーカー$\mathrm{A}$と純水$100 \mathrm{g}$が入ったビーカー$\mathrm{B}$がある.今,次のような手順を繰り返して行うとする.

\mon[$①$] ビーカー$\mathrm{B}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に入れ,その後ビーカー$\mathrm{A}$の溶液をよくかき混ぜる.
\mon[$②$] できあがったビーカー$\mathrm{A}$の溶液のうち$50 \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{B}$に戻し,その後ビーカー$\mathrm{B}$の溶液をよくかき混ぜる.


(1)この手順を$1$回行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_1$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_1$とする.$a_1,\ b_1$の値を求めよ.
(2)この手順を$n$回($n \geqq 2$)行った後のビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品の重さを$a_n$,ビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さを$b_n$とする.$a_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.また,$b_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1}$で表せ.
(3)$c_n=a_n+b_n$と置くとき,$c_n$の値を求めよ.
(4)$d_n=a_n-b_n$と置くとき,$d_n$を$n$の式で表せ.
(5)ビーカー$\mathrm{A}$の溶液に含まれる薬品とビーカー$\mathrm{B}$の溶液に含まれる薬品の重さの差が$0.1 \mathrm{g}$以下になるのは,この手順を何回繰り返した後か.
(6)$a_n,\ b_n$を$n$の式で表せ.
福島大学 国立 福島大学 2011年 第3問
以下の問いに答えなさい.

(1)2つの容器 A,Bがある.はじめAの容器には100gの純水が,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている.Aの3分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち,Aをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$.$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい.
(2)上記(1)の操作の後,A,Bの溶液を捨て,改めてAの容器には100gの純水を,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる.自然数$n$について,Aの$n$分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$.$1 \leqq k \leqq n-1$のとき,$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい.さらに$a_n$を求めなさい.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2010年 第2問
以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めよ.

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき,

(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

である.
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で,不純物を含む溶液をろ過したい.

(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[ ] \, \%$である.
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[ ]$回のろ過操作が必要である.$\log_{10}2=0.3010$とする.
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「溶液」とは・・・

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