$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x}-\tan x \left( 0 \leqq x <\frac{\pi}{2} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で連続で，$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$では$g(x)=f(x)$を満たす関数とする．

\mon[(a)] $\displaystyle g \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
\mon[(b)] $g(x)$の増加，減少を調べよ．
\mon[(c)] $\displaystyle \int_0^x g(t) \, dt$を求めよ．

(2)$n$を自然数とし，$c_n$を$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}-c_n}^{\frac{\pi}{2}}g(t) \, dt=\frac{1}{n} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \, dt$を満たす0と$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の間の数とする．次の極限を求めよ．

\mon[(a)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(1-\cos c_n)$
\mon[(b)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}c_n$

$p,\ q$は正の実数で$p > q$とする．$x > 0$において，2つの関数
\[ f(x) = e^{px}+e^{-px},\quad g(x) = e^{qx}+e^{-qx} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$f(x) > 2$を示せ．
(2)$f(x) > g(x)$を示せ．
(3)$\displaystyle h(x) = \frac{f^{\, \prime}(x)-g^{\, \prime}(x)}{f(x)-g(x)}$とするとき，$h(x)$は$x > 0$において単調減少であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．

$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．

(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]