「消滅」について
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国立 大阪教育大学 2013年 第4問ある種の粒子は出現して$1$時間後に次のように変化する．
確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で$2$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$1$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で消滅する．
$1$個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．
(1)$2$時間後に粒子が$2$個になっている確率を求めよ．
(2)$3$時間後に粒子が$5$個になっている確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$時間後に最大でいくつの粒子があるか．その個数と，そうなる確率を$n$を用いて表せ．
確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で$2$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$1$個の新しい粒子になる．
確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で消滅する．
$1$個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．
(1)$2$時間後に粒子が$2$個になっている確率を求めよ．
(2)$3$時間後に粒子が$5$個になっている確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$時間後に最大でいくつの粒子があるか．その個数と，そうなる確率を$n$を用いて表せ．
私立 早稲田大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)$a,\ b$は定数で，$x$についての整式$x^3+ax+b$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする．このとき，$a=[ ]$，$b=[ ]$である．
(2)$5$個の自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5)$で，
\[ a_1=1,\quad a_n+1 \leqq a_{n+1} \leqq a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ 4) \]
を満たすものは全部で$[ ]$組ある．
(3)$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=2$で極値をとり，曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{3x}{2 \sqrt{x^2+1}}+1$は点$(0,\ 1)$において共通の接線を持つとする．このとき，$f(x)=[ ]$である．
(4)ある花の$1$個の球根が$1$年後に$3$個，$2$個，$1$個，$0$個（消滅）になる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{3}{10}$，$\displaystyle \frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{10}$であるとする．$1$個の球根が$2$年後に$2$個になっている確率は$[ ]$である．
(1)$a,\ b$は定数で，$x$についての整式$x^3+ax+b$は${(x+1)}^2$で割り切れるとする．このとき，$a=[ ]$，$b=[ ]$である．
(2)$5$個の自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5)$で，
\[ a_1=1,\quad a_n+1 \leqq a_{n+1} \leqq a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ 4) \]
を満たすものは全部で$[ ]$組ある．
(3)$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=2$で極値をとり，曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{3x}{2 \sqrt{x^2+1}}+1$は点$(0,\ 1)$において共通の接線を持つとする．このとき，$f(x)=[ ]$である．
(4)ある花の$1$個の球根が$1$年後に$3$個，$2$個，$1$個，$0$個（消滅）になる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{3}{10}$，$\displaystyle \frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{10}$であるとする．$1$個の球根が$2$年後に$2$個になっている確率は$[ ]$である．