曲線$C:y=e^x$について以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ e^p)$における接線$\ell$および法線$n$の方程式を求めよ．
(2)$p>0$とする．$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S(p)$とする．また$C$と$n$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$T(p)$とする．このとき極限$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\frac{pT(p)}{S(p)}$を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$a>0$とする．放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$上に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{4} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{b^2}{4} \right)$をとる．点$\mathrm{A}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{A}$と$n_\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における放物線の接線と法線をそれぞれ$\ell_\mathrm{B}$と$n_\mathrm{B}$とおいたとき，$\ell_\mathrm{A}$と$\ell_\mathrm{B}$が直交しているものとする．$2$つの接線$\ell_\mathrm{A},\ \ell_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$2$つの法線$n_\mathrm{A},\ n_\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{AQBP}$の面積が最小となるような$a$の値と，そのときの面積を求めよ．

$f(x)=x^3-x+5$として，曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell$，法線を$n$とする．以下の各問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線のことである．

(1)$\ell,\ n$の方程式をそれぞれ求めよ．
(2)$\ell$と$C$の共有点で，$\mathrm{P}$以外のものの個数を求めよ．
(3)$\displaystyle |a|<\frac{1}{\sqrt{3}}$のときには，$n$と$C$との共有点が$\mathrm{P}$以外にも存在することを示せ．

曲線$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \ (x \geqq 0)$と曲線$C_2:x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$がある．曲線$C_1$の点$\mathrm{P}(\sqrt{s},\ \sqrt{t}) \ (s>0,\ t>0)$における法線を$\ell$とする．次に答えよ．

(1)$s$を$t$を用いて表せ．また，直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$C_2$に接するときの点$\mathrm{P}$の座標および接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は(2)で求めた点とし，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{R}$とする．曲線$C_1$，弧$\mathrm{RQ}$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{P}$における$C$の法線を$L(\mathrm{P})$とする（$L(\mathrm{P})$は，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線である）．点$\mathrm{Q}(a,\ 1)$に対し，$L(\mathrm{P})$が$\mathrm{Q}$を通るような$C$上の点$\mathrm{P}$がちょうど$3$個あるための$a$の範囲を求めよ．

平面上に放物線$C_1:y=x^2$と円$C_2:(x-1)^2+(y-2)^2=5$がある．

(1)$C_1$上の点$\mathrm{P}$であって，$\mathrm{P}$における$C_1$の法線が点$(1,\ 2)$を通るようなものをすべて求めよ．ただし，$\mathrm{P}$における$C_1$の法線とは，$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C_1$の接線に直交する直線のことである．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点をすべて求めよ．

$xy$平面において，曲線$C:y=\log x$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$と$\mathrm{B}(a+h,\ \log (a+h))$ $(h \neq 0)$をとる．点$\mathrm{A}$における$C$の法線と点$\mathrm{B}$における$C$の法線の交点を$\mathrm{D}(\alpha,\ \beta)$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$における法線の方程式を求めよ．
(2)$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$a$と$h$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\lim_{h \to 0} \alpha$と$\displaystyle q=\lim_{h \to 0} \beta$とする．$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{E}$の座標を$(p,\ q)$とする．線分$\mathrm{AE}$の長さを最小にする$a$の値と，そのときの線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．

関数$f(x)=\log x$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るとき，$a$の値を求めよ．
(2)$a$を$(1)$で求めた値とするとき，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における法線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，$\displaystyle \int \log x \, dx$を計算せよ．
(4)$(2)$で求めた法線$\ell_2$と曲線$y=\log x$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．

$a$を$a>2$を満たす実数とし，
\[ f(t)=\frac{\sin^2 at+t^2}{at \sin at},\quad g(t)=\frac{\sin^2 at-t^2}{at \sin at} \quad \left( 0<|t|<\frac{\pi}{2a} \right) \]
とする．また，$C$を曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{4}{a^2} \left( x \geqq \frac{2}{a} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$(f(t),\ g(t))$は，曲線$C$上の点であることを示せ．
(2)点$\displaystyle \left( \lim_{t \to 0}f(t),\ \lim_{t \to 0}g(t) \right)$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた法線および$x$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$を$a$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．