「法線ベクトル」について
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国立 山形大学 2015年 第3問座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
国立 山形大学 2015年 第3問座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
国立 室蘭工業大学 2013年 第4問平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$は互いに異なる点とする．三角形$\mathrm{OAB}$において
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第4問直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．
以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．
\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．
以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．
\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．