「決定」について
タグ「決定」の検索結果
（2ページ目：全14問中11問～20問を表示）
国立 山口大学 2013年 第1問$x>0,\ x \neq 1$を定義域とする次の$5$つの関数を考える．
\[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \]
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)上の$5$つの関数の間に$[1]<[2]<[3]<[4]<[5]$の不等式が成立するとすれば，$[1]$から$[5]$にはどの関数が入るか．$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，$\log 2=0.693 \cdots$とする．
(2)$[4]<[5]$の部分の不等式を証明しなさい．
(3)$[2]<[3]$の部分の不等式を証明しなさい．
\[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \]
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)上の$5$つの関数の間に$[1]<[2]<[3]<[4]<[5]$の不等式が成立するとすれば，$[1]$から$[5]$にはどの関数が入るか．$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，$\log 2=0.693 \cdots$とする．
(2)$[4]<[5]$の部分の不等式を証明しなさい．
(3)$[2]<[3]$の部分の不等式を証明しなさい．
私立 同志社大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
私立 早稲田大学 2012年 第4問円$C$とその内部の点$\mathrm{P}_0$が与えられている．初め$\mathrm{P}_0$にある動点が，円周上の点$\mathrm{P}_1$まで線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$上を動き，$\mathrm{P}_1$からは，$\mathrm{P}_1$における円$C$の接線$\ell_1$と線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$のなす角が$\ell_1$と線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$のなす角に等しくなるように向きを変えて，円周上の点$\mathrm{P}_2$まで線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上を動く（図例$1$）．以下，自然数$n$について，円周上の点$\mathrm{P}_n$に至ったあとは，$\mathrm{P}_n$における円$C$の接線$\ell_n$と線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$のなす角が$\ell_n$と線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$のなす角に等しくなるように向きを変え，円周上の点$\mathrm{P}_{n+1}$まで線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$上を動き，この動きをくり返す（図例$2$）．線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と接線$\ell_1$のなす角を$\alpha (\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2})$とする．
(1)$\mathrm{P}_m=\mathrm{P}_1$となる$3$以上の自然数$m$が存在するような角$\alpha$をすべて決定せよ．
(2)点$\mathrm{P}_1$の位置によって角$\alpha$は変化し得る．角$\alpha$が最大となる$\mathrm{P}_1$の位置，および最小となる$\mathrm{P}_1$の位置を求めよ．
(3)$\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$となる点$\mathrm{P}_1$がとれるような点$\mathrm{P}_0$の存在範囲を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{P}_m=\mathrm{P}_1$となる$3$以上の自然数$m$が存在するような角$\alpha$をすべて決定せよ．
(2)点$\mathrm{P}_1$の位置によって角$\alpha$は変化し得る．角$\alpha$が最大となる$\mathrm{P}_1$の位置，および最小となる$\mathrm{P}_1$の位置を求めよ．
(3)$\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$となる点$\mathrm{P}_1$がとれるような点$\mathrm{P}_0$の存在範囲を求めよ．
（図は省略）
国立 千葉大学 2010年 第11問$f(x)$は実数全体で定義された関数とする．実数$a$に関する条件$(\mathrm{P})$を考える．
$(\mathrm{P})$ 正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ．
(2)関数$f(x)$が
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
|x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\
|x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されているとき，条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．
(3)一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．
（命題） すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．
$(\mathrm{P})$ 正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ．
(2)関数$f(x)$が
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
|x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\
|x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されているとき，条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．
(3)一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．
（命題） すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．