「決定」について
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私立 同志社大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} (x>0)$として，次の問いに答えよ．
(1)閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2)$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4)上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} (x>0)$として，次の問いに答えよ．
(1)閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2)$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4)上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とする．$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．
(1)$a$を実数とする．$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 ax \, dx$を$a$を用いて表せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$の増減を調べ，$2$つの数${59}^{61},\ {61}^{59}$の大小関係を決定せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}k^2 \int_1^{e^{\frac{1}{k}}} \frac{\log x}{x^k} \, dx$を求めよ．ただし，$k$は自然数を動くものとする．
私立 旭川大学 2015年 第4問$\mathrm{U}$大学のオープンキャンパスに$30$名の高校生が参加した．この$30$名の高校生のために，みそラーメンを$5$個，塩ラーメンを$10$個，しょうゆラーメンを$15$個，計$30$個のラーメンを参加の記念として用意し，高校生$1$名に必ず$1$つのラーメンを渡す．ただし渡すラーメンの味は無作為に決定される．このオープンキャンパスに参加した特定の$2$名，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともにみそラーメンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ味のラーメンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともにみそラーメンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ味のラーメンを渡される確率を求めよ．
私立 中部大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．
(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2013年 第4問$2$チームが試合をする．$1$回の試合で一方が勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けは起こらないとする．先に$4$勝したチームを優勝とするとき，下の問いに答えなさい．
(1)第$4$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(2)第$7$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(3)$2$チームの勝ち数の差が，優勝が決まるまで常に$1$以下である確率を求めなさい．ただし，「$2$チームの勝ち数の差が$\cdots$常に$1$以下」とは「優勝決定時も含めて勝ち数の差は$1$以下」という意味である．
(1)第$4$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(2)第$7$試合で優勝が決まる確率を求めなさい．
(3)$2$チームの勝ち数の差が，優勝が決まるまで常に$1$以下である確率を求めなさい．ただし，「$2$チームの勝ち数の差が$\cdots$常に$1$以下」とは「優勝決定時も含めて勝ち数の差は$1$以下」という意味である．
国立 茨城大学 2013年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$つの野球チームが戦い，先に$4$勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，各試合で$\mathrm{A}$チームが$\mathrm{B}$チームに勝つ確率は$\displaystyle \frac{3}{5}$とする．次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(3)$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$チームが$4$勝$1$敗で優勝する確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームが最初の$2$試合で負けてしまった．その後，$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．
(3)$4$試合が終わって$\mathrm{A}$チームの$1$勝$3$敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期待値を求めよ．