タグ「水面」の検索結果

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香川大学 国立 香川大学 2015年 第3問
放物線$y=ax^2 (a>0)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と,容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある.このとき,次の問に答えよ.

(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら,水深が$1$となった.このとき,$a$を$V$を用いて表せ.ただし,回転軸は水面と垂直であるとする.
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら,水深が$2$となるか.
香川大学 国立 香川大学 2015年 第5問
放物線$y=ax^2 (a>0)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と,容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある.このとき,次の問に答えよ.

(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら,水深が$1$となった.このとき,$a$を$V$を用いて表せ.ただし,回転軸は水面と垂直であるとする.
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら,水深が$2$となるか.
山口大学 国立 山口大学 2015年 第4問
半径$3 \, \mathrm{cm}$の半球形の容器の中に$8 \pi \, \mathrm{cm}^3$の水が入っている.この容器の水の中に半径$r \, \mathrm{cm}$の鉄の球を静かに入れた.このとき下の断面図のように,鉄の球は水面と上端で接した.$r$の値を求めなさい.ただし,容器から水がこぼれることはないものとする.
(図は省略)
山口大学 国立 山口大学 2015年 第3問
半径$3 \, \mathrm{cm}$の半球形の容器の中に$8 \pi \, \mathrm{cm}^3$の水が入っている.この容器の水の中に半径$r \, \mathrm{cm}$の鉄の球を静かに入れた.このとき下の断面図のように,鉄の球は水面と上端で接した.$r$の値を求めなさい.ただし,容器から水がこぼれることはないものとする.
(図は省略)
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2014年 第1問
以下の問いに答えなさい.

(1)下図のような口の半径が$10 \, \mathrm{cm}$,高さが$30 \, \mathrm{cm}$の口の開いた逆円すい形の容器を,口が水平になるように置き,水を入れた.水面の面積が$36 \pi \, \mathrm{cm}^2$であるとき,水の体積は$[$1$][$2$][$3$] \pi \, \mathrm{cm}^3$であり,容器の内面で水に接していない部分の面積は,水に接している部分の面積の$\displaystyle \frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$倍である.
(図は省略)
(2)次の数列を考える.
\[ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{27},\ \cdots \]
この数列の第$670$項は$\displaystyle \frac{1}{[$7$][$8$][$9$]}$,初項から第$2182$項までの和は
\[ \frac{\kakkofour{$10$}{$11$}{$12$}{$13$}}{[$14$][$15$][$16$]} \]
である.
(3)次の連立方程式を満たす実数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-9x^2+4x+3y^2=0 \\
3xy-5y=0
\end{array} \right. \]
鳥取大学 国立 鳥取大学 2011年 第4問
半径$a\;$cmの球$B$を,球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒$v\;$cmの速さで下の方向に動かし,水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく.球$B$を沈め始めてから$t$秒後までにあふれ出る水の体積を$V\;$cm$^3$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,$a,\ v$は正の定数で,容器$Q$に球$B$を完全に水没させることができるとする.

(1)$V$を$a,\ v,\ t$の式で表せ.また変化率$\displaystyle \frac{dV}{dt}$が最大になるのは,沈め始めてから何秒後か.
(2)容器$Q$は一辺の長さが$b$の正四面体から一面を取り除いた形をしており,開口した面は水平に保たれている.球$B$は完全に水面下に入った瞬間,水面と容器$Q$の3つの面に接するという.$b$を$a$で表せ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2011年 第3問
正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2| \ (-2a \leqq x \leqq 2a)$がある.$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2 (\text{cm}^3 / \text{秒})$の割合で水を静かに注ぐ.水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T$(秒)とする.ただし,長さの単位はcmとする.次の問いに答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け.
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき,容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする.$V$を$a$を用いて表せ.
(3)$T$を$a$を用いて表せ.
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする.$h$を$a$と$t$を用いて表せ.ただし,$0<t<T$とする.
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする.$v$を$a$と$t$を用いて表せ.ただし,$0<t<T$とする.
福岡大学 私立 福岡大学 2011年 第4問
曲線$y=-\cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる形をした容器がある.ただし,単位は$\mathrm{cm}$とする.この容器に毎秒$1 \, \mathrm{cm}^3$ずつ水を入れたとき,$t$秒後の水面の半径を$r \, \mathrm{cm}$とし,水の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$とする.水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき,次の問いに答えよ.

(1)水の体積$V$を$r$の式で表せ.
(2)水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ.
青山学院大学 私立 青山学院大学 2011年 第5問
曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある.この容器に,時刻$t$における水の体積が$vt$となるように,単位時間あたり$v$の割合で水を注入する.ただし,$v$は正の定数であり,$y$軸の負の方向を鉛直下方とする.

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ.
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を,$h$を用いて表せ.ただし,$h$は容器の底から測った高さである.
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における,水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ.
長崎大学 国立 長崎大学 2010年 第4問
$a$を$a>1$を満たす定数とする.原点Oと点P$(1,\ 0)$を線分で結び,点Pと点Q$(a,\ \log a)$を曲線$y=\log x$で結ぶ.このようにして得られる曲線OPQを,$y$軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える.ただし,OPを含む部分を底面として,水平に置くものとする.次の問いに答えよ.

(1)この容器の容積$V$を$a$を用いて表せ.
(2)$m$を正の定数とする.この容器に,単位時間あたり$m$の水を一定の割合で注ぎ入れる.ただし,最初は水が全く入っていない状態とする.注ぎ始めてから時間$\displaystyle t \ \left( 0<t<\frac{V}{m} \right)$が経過したとき,底面から水面までの高さを$h$,水面の上昇する速度を$v$とする.$h$および$v$を$m,\ t$を用いて表せ.
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「水面」とは・・・

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