放物線$y=ax^2 (a>0)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と，容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．

放物線$y=ax^2 (a>0)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と，容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．

次の各設問の$[1]$から$[9]$までの空欄にあてはまる数値を入れよ．

(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．