$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$3^{30}$は何桁の整数か．
(2)$3^{30}$の一の位の数字と最高位の数字を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$村では人口減少が続いており，毎年$2 \, \%$ずつ減少している．毎年このままの比率で人口が減少すると仮定した場合，はじめて人口が現在の半分以下になるのは何年後かを答えなさい．

2つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に赤玉と白玉が入っており，箱$\mathrm{A}$の赤玉と白玉の個数の比率は$p:1-p \ (0<p<1)$，箱$\mathrm{B}$の赤玉と白玉の個数の比率は$q:1-q \ (0<q<1)$であるとする．この2つの箱のどちらかを選び，そこから玉を1個取り出して色を調べてもとに戻すという操作をくり返し行うものとする．取り出した玉が赤玉であれば次は$\mathrm{A}$の箱から玉を取り出すものとし，白玉であれば次は$\mathrm{B}$の箱から玉を取り出すものとする．最初は箱$\mathrm{A}$から玉を取り出すことにしたとき，第$n$回目に赤玉を取り出す確率を$a_n$とする．$a_1=p$である．次の問いに答えよ．

(1)$a_2$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ p,\ q$を用いて表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．