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北里大学 私立 北里大学 2015年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる答を記せ.

(1)$k$を定数とするとき,方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$[ア]$,実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$[イ]$である.また,曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[ウ]$である.
(2)曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち,その点において共通の接線をもつとするとき,定数$k$の値は$[エ]$,共通の接線の方程式は$y=[オ]$である.
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき,$\{a_n\}$は
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす.このとき,$a_4=[カ]$であり,$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である.また,$S_n=[ク]$である.
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=4$,$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である.$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく.

(i) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ケ]$である.
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{c}$である.
(iii) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$[シ]$である.

(5)$\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは,毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる.

(i) 食堂$\mathrm{A}$,食堂$\mathrm{B}$,食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる.
(ii) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ.
(iii) $2$人が同じ食堂を選んだ日は,必ず一緒に食事をとる.

$1$日目,$2$人は別々の食堂で食事をとったとする.このとき,$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$[ス]$である.また,$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$[セ]$である.
津田塾大学 私立 津田塾大学 2014年 第3問
下図の様な道路網がある.毎日,$6$つの区間のそれぞれは確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で通行止めとなる.ある日に$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行くことのできる確率を求めよ.
(図は省略)
静岡大学 国立 静岡大学 2012年 第3問
ある工場では,昼間にタンクの水を使用し,夜間に水を補給する.毎日,朝の水量のうち10$\%$が使用され,その日の夜に200リットルが補給される.操業1日目の朝の始業前には,タンクの水量が8000リットルであった.このとき,次の問いに答えよ.

(1)3日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ.
(2)$n$日目の朝の始業前のタンクの水量を$a_n$リットルとするとき,$a_{n+1}$を$a_n$で表せ.
(3)朝の始業前のタンクの水量がはじめて2400リットル未満になるのは,何日目の朝か.ただし,$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする.
静岡大学 国立 静岡大学 2012年 第3問
ある工場では,昼間にタンクの水を使用し,夜間に水を補給する.毎日,朝の水量のうち10$\%$が使用され,その日の夜に200リットルが補給される.操業1日目の朝の始業前には,タンクの水量が8000リットルであった.このとき,次の問いに答えよ.

(1)3日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ.
(2)$n$日目の朝の始業前のタンクの水量を$a_n$リットルとするとき,$a_{n+1}$を$a_n$で表せ.
(3)朝の始業前のタンクの水量がはじめて2400リットル未満になるのは,何日目の朝か.ただし,$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする.
兵庫県立大学 公立 兵庫県立大学 2012年 第3問
互いに友人である$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$はかつて,$10$年後の$1$月$1$日に,スリーアイランド国の空港で再会することを約束した.いよいよ今日が約束の$1$月$1$日である.$2$人は午後,自分達の住む国からスリーアイランド国の空港に各々到着する.ところが,$3$つの島から成るこの国には,各島に$1$つずつ,計$3$つの空港があり,出発の際,$2$人とも行き先をこれら$3$つの島の中から等確率で選んだため,降り立った空港で$2$人が再会できるとは限らない.再会できない場合は,$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も,再会できるまで,現在自分がいる島以外の$2$島の$1$つを等確率で選び翌日その島へ移動することを繰り返す.ただし,$3$島の間の移動は各島間に毎日朝$1$便だけある飛行機によるしかなく,しかも,乗り継ぎが悪いため,島の間の移動は$1$日に$1$度しかできない.次の問に答えなさい.

(1)$1$月$1$日に$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が再会する確率を求めなさい.
(2)$1$月$2$日にようやく$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が再会する確率を求めなさい.
(3)$1$月$4$日の午後までに$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が再会できる確率を求めなさい.
(4)$1$月$6$日の午後になっても$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が再会できていない確率を求めなさい.
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