「残り」について
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国立 山口大学 2012年 第4問$3$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがそれぞれの箱に入っている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から無作為に$1$枚ずつカードを引き，そこに書かれた数字を$a,\ b,\ c$とする．$p=a+b+c$とし，以下のルールで得点を定める．
(i) $a,\ b,\ c$すべてが同じ数字であるとき，得点を$3p$とする．
(ii) $a,\ b,\ c$の中に同じ数字が$2$つあり，残りが異なる数字であるとき，得点を$2p$とする．
(iii) $a,\ b,\ c$すべてが異なるとき，得点を$p$とする．
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)得点が$7$である確率を求めなさい．
(2)得点が$10$以下である確率を求めなさい．
(3)得点の期待値を求めなさい．
(i) $a,\ b,\ c$すべてが同じ数字であるとき，得点を$3p$とする．
(ii) $a,\ b,\ c$の中に同じ数字が$2$つあり，残りが異なる数字であるとき，得点を$2p$とする．
(iii) $a,\ b,\ c$すべてが異なるとき，得点を$p$とする．
このとき，次の問いに答えなさい．
(1)得点が$7$である確率を求めなさい．
(2)得点が$10$以下である確率を求めなさい．
(3)得点の期待値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2012年 第3問低所得者層が$20 \%$，中所得者層が$70 \%$，高所得者層が$10 \%$の社会がある．低所得者層の平均所得が$30$単位，中所得者層の平均所得が$50$単位，高所得者層の平均所得が$70$単位とする．
$xy$平面を考え，$x$軸を全所得者を所得の低い順に数えたときの累積人数の全所得者数に対する割合，$y$軸を対応する累積所得の全所得に対する割合にとる．例えば$x$座標が$0.2$のとき，$y$座標は低所得者全体の所得の全所得に対する割合である．これに対応する点は
\quad $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0.2,\ \frac{0.2 \times 30}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
となる．同様に$x$座標が$0.9,\ 1$の点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はそれぞれ
\quad $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0.9,\ \frac{0.2 \times [(23)][(24)] + 0.[(25)][(26)] \times [(27)][(28)]}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
\quad $\mathrm{C} \left(1,\ [(29)][(30)] \right)$
となる．
$x$軸上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{D}(0.2,\ 0)$，$\mathrm{E}(0.9,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 0)$としたとき，三角$\mathrm{OAD}$，台形$\mathrm{ADEB}$，台形$\mathrm{BEFC}$の面積の総和を平等度指数とよぶ．平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(31)][(32)]}{[(33)][(34)]}$
ある．ここで所得に対して，一定の割合で課せられる税，すなわち所得税を導入をした．低所得者には無税，中所得者には$10$単位，高所得者には$20$単位の所得税を課した．税を払った残りを改めて所得としたときの平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(35)][(36)][(37)]}{[(38)][(39)][(40)]}$
である．
$xy$平面を考え，$x$軸を全所得者を所得の低い順に数えたときの累積人数の全所得者数に対する割合，$y$軸を対応する累積所得の全所得に対する割合にとる．例えば$x$座標が$0.2$のとき，$y$座標は低所得者全体の所得の全所得に対する割合である．これに対応する点は
\quad $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0.2,\ \frac{0.2 \times 30}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
となる．同様に$x$座標が$0.9,\ 1$の点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はそれぞれ
\quad $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0.9,\ \frac{0.2 \times [(23)][(24)] + 0.[(25)][(26)] \times [(27)][(28)]}{0.2 \times 30 + 0.7 \times 50 + 0.1 \times 70} \right)$
\quad $\mathrm{C} \left(1,\ [(29)][(30)] \right)$
となる．
$x$軸上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{D}(0.2,\ 0)$，$\mathrm{E}(0.9,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 0)$としたとき，三角$\mathrm{OAD}$，台形$\mathrm{ADEB}$，台形$\mathrm{BEFC}$の面積の総和を平等度指数とよぶ．平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(31)][(32)]}{[(33)][(34)]}$
ある．ここで所得に対して，一定の割合で課せられる税，すなわち所得税を導入をした．低所得者には無税，中所得者には$10$単位，高所得者には$20$単位の所得税を課した．税を払った残りを改めて所得としたときの平等度指数は
$\displaystyle \frac{[(35)][(36)][(37)]}{[(38)][(39)][(40)]}$
である．
私立 岡山理科大学 2012年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に，点$\mathrm{P}(4,\ 0)$から引いた$2$つの接線の接点のうち，第$1$象限にある点を$\mathrm{A}$，残りの点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AP}$に引いた垂線と$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．
(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の文章中の$[ア]$から$[ヒ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．
私立 成城大学 2012年 第3問白い正三角形$\mathrm{ABC}$がある．$1$回目の操作としてこの正三角形の各辺の中点を互いに結んでできる$4$つの正三角形のうち，中央の正三角形を赤く塗る．次に，$2$回目の操作として残りすべての白い三角形それぞれについて，各辺の中点を互いに結んでできる$4$つの正三角形のうち，中央の正三角形を赤く塗る．以下同様に$n$回目までこの操作を繰り返す．
正三角形$\mathrm{ABC}$からこの操作を$n$回繰り返したとき，以下の問いに答えよ．
(1)赤い正三角形の数を求めよ．
(2)白い正三角形の数を求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$の一辺の長さを$1$としたとき，赤い正三角形の面積の和を求めよ．
正三角形$\mathrm{ABC}$からこの操作を$n$回繰り返したとき，以下の問いに答えよ．
(1)赤い正三角形の数を求めよ．
(2)白い正三角形の数を求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$の一辺の長さを$1$としたとき，赤い正三角形の面積の和を求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$x$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{ABE}$，$\triangle \mathrm{BCF}$，$\triangle \mathrm{CDG}$，$\triangle \mathrm{DAH}$を正方形から切り取り，残りを図の$4$本の線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$にそって折り曲げて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が$1$点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
国立 浜松医科大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第2問$5$個のさいころを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．
(1)$5$個のさいころすべてに同じ目が出る確率を求めよ．
(2)$3$個のさいころに同じ目が出て，かつ残りの$2$個のさいころにも同じ目が出る確率を求めよ．ただし，$3$個のさいころに出た同じ目と$2$個のさいころに出た同じ目は異なるとする．
(3)出た目が連続した$5$つの数の組合せになる確率を求めよ．
(1)$5$個のさいころすべてに同じ目が出る確率を求めよ．
(2)$3$個のさいころに同じ目が出て，かつ残りの$2$個のさいころにも同じ目が出る確率を求めよ．ただし，$3$個のさいころに出た同じ目と$2$個のさいころに出た同じ目は異なるとする．
(3)出た目が連続した$5$つの数の組合せになる確率を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2011年 第1問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．
(1)$(x+1)(y+1)(xy+1)+xy$を因数分解すると$[ ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$2 \sin x=1$を満たす$x$は$x=[ ]$である．
(3)$L=\log_a b \times \log_b c \times \log_c a$の値を計算すると$L=[ ]$である．
(4)$|m^2-30|<20$を満たす整数$m$は全部で$[ ]$個ある．
(5)$4$次方程式$x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0$の解のうち$2$つは$1$と$2$である．このとき，$a=[ ]$，$b=[ ]$であり，残りの解は$[ ]$と$[ ]$である．
(1)$(x+1)(y+1)(xy+1)+xy$を因数分解すると$[ ]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$2 \sin x=1$を満たす$x$は$x=[ ]$である．
(3)$L=\log_a b \times \log_b c \times \log_c a$の値を計算すると$L=[ ]$である．
(4)$|m^2-30|<20$を満たす整数$m$は全部で$[ ]$個ある．
(5)$4$次方程式$x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0$の解のうち$2$つは$1$と$2$である．このとき，$a=[ ]$，$b=[ ]$であり，残りの解は$[ ]$と$[ ]$である．
私立 東北医科薬科大学 2011年 第3問円周を$8$等分する点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_8$からいくつかの点を無作為に選ぶ．どの点も選ばれる確率は等しいとするとき，次の問に答えなさい．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．