「残り」について
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国立 大阪大学 2013年 第5問$n$を3以上の整数とする．$n$個の球$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$と$n$個の空の箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$がある．以下のように，$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$の順番に，球を箱に1つずつ入れていく． \\
まず，球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる．次に，球$K_2$を，箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ，箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる． \\
一般に，$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について，球$K_i$を，箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ，箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．
(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である．これを証明せよ．
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ．
まず，球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる．次に，球$K_2$を，箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ，箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる． \\
一般に，$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について，球$K_i$を，箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ，箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．
(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である．これを証明せよ．
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第3問半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形$\mathrm{PQRS}$について考える．頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は弧$\mathrm{AB}$上に，残りの$2$頂点はそれぞれ辺$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を，$\alpha$と$\theta$の三角比を用いて表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になるときの$\alpha$を$\theta$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値を求めよ．
(1)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を，$\alpha$と$\theta$の三角比を用いて表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になるときの$\alpha$を$\theta$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値を求めよ．
国立 山口大学 2013年 第3問今年$6$万円，来年$27$万円の収入がある人がいる．この人は黄金が大好きである．この人が，今年$s$万円，来年$t$万円の黄金を購入すると，$f=s^2t$で定められる満足度が得られるとする．この人が今年は$6$万円以下の黄金を購入した場合，来年は，残りの$(6-s)$万円と，$(6-s)$万円に対する$50 \%$の利息と，来年の収入の$27$万円をすべて合わせた金額だけ購入できる．一方，来年の収入から借りてきて今年の$6$万円と合わせて今年購入することもできるが，借りた金額の他に，借りた金額の$50 \%$だけ来年の収入が減るとする．ただし，$s,\ t$は$0$以上の実数とし，来年の収入から借りる金額は$18$万円を限度とする．また，収入と得られた利息は来年末までにはすべて黄金の購入に使うとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．
(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．
国立 大分大学 2013年 第1問$n$を$9$以上の自然数とする．袋の中に$n$個の球が入っている．このうち$6$個は赤球で残りは白球である．この袋から$6$個の球を同時に取り出すとき，$3$個が赤球である確率を$P_n$とする．
(1)$P_{10}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}$を求めなさい．
(3)$P_n$が最大となる$n$を求めなさい．
(1)$P_{10}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}$を求めなさい．
(3)$P_n$が最大となる$n$を求めなさい．
私立 自治医科大学 2013年 第18問箱の中に赤いカード$6$枚，白いカード$5$枚，黒いカード$4$枚が入っている．この箱の中から$4$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚だけが同色で，残りの$2$枚はそれぞれ異なる色となる確率を$p$とする．$\displaystyle \frac{91p}{6}$の値を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第2問$2$辺の長さが$2$と$3$で，$1$つの角の大きさが${60}^\circ$であるような三角形がある．この三角形の残りの$1$辺の長さを求めよ．
私立 早稲田大学 2013年 第4問$1$辺の長さが$1$の立方体がある．
(1)この立方体の$8$個の頂点のうちの$4$個を頂点とする正四面体の体積を求めよ．
(2)この立方体の$8$個の頂点のうちの$4$個を頂点とする正四面体と，残りの$4$個を頂点とする正四面体の共通部分の体積を求めよ．
(1)この立方体の$8$個の頂点のうちの$4$個を頂点とする正四面体の体積を求めよ．
(2)この立方体の$8$個の頂点のうちの$4$個を頂点とする正四面体と，残りの$4$個を頂点とする正四面体の共通部分の体積を求めよ．
私立 同志社大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
サッカーの国際大会に日本，$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し，優勝国は次のように決定される．
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする．勝った国が残りの$1$つの国と試合をし， $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す．この連勝国を優勝国とし，大会を終了する．
(ii) 各試合において，引き分けは無く，必ず勝敗が決まる．
日本が$\mathrm{A}$国，$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし，$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する．
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり，第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である．ゆえに第$3n+2$戦（$n$は$0$以上の整数）で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる．一方，第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる．第$3n+1$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる．また第$3n$戦（$n$は$1$以上の整数）で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる．
国立 岐阜大学 2012年 第2問$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
国立 岐阜大学 2012年 第2問$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．
(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．