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和歌山県立医科大学 公立 和歌山県立医科大学 2015年 第4問
あるバクテリアをある条件の下で培養した場合,生存している$1$個が,$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか,あるいは死滅しているかであり,$2$個とも生存している確率が$p$,死滅している確率が$1-p$であるという.このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき,$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく.ただし,$n$は自然数とする.

(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ.
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ.
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
(4)$a$を$2$より大きな実数とする.$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$,$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき,$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ.
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
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「死滅」とは・・・

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