「正方行列」について
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国立 三重大学 2010年 第4問$X$を2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(1)$p,\ q$を実数とし$q \neq 0$とする．$\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)X=X \biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
0 & p
\end{array} \biggr)$ならば，$X$は$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$の形に表せることを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array} \biggr)$のとき，自然数$n$に対し$X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n
\end{array} \biggr)$となることを数学的帰納法により示せ．ただし$a^0=1$とする．
(3)$m,\ n$を自然数とする．$X$の各成分は0以上の整数で，さらに$X^{n+1}-X^n=\biggl( \begin{array}{cc}
2^{m+1} & 2^{50} \\
0 & 2^{m+1}
\end{array} \biggr)$を満たすものとする．このような行列$X$が存在するような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
国立 電気通信大学 2010年 第4問実数$a$に対し，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & a-2 \\
a+1 & -3
\end{array} \biggr),\quad E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2)$E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．
以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．
\mon[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ．
\mon[(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
3 & 1
\end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ．
\mon[(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & a-2 \\
a+1 & -3
\end{array} \biggr),\quad E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2)$E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．
以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．
\mon[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ．
\mon[(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
3 & 1
\end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ．
\mon[(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2010年 第5問$a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，2次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=-E$を満たすとする．
(1)$a=0$のとき，$d,\ bc$の値を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで，$E+A$が逆行列をもつことを示せ．さらに，実数$p,\ q$を用いて$(E+A)^{-1}$を$pE+qA$の形で表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$a$を任意の実数とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，2次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=-E$を満たすとする．
(1)$a=0$のとき，$d,\ bc$の値を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで，$E+A$が逆行列をもつことを示せ．さらに，実数$p,\ q$を用いて$(E+A)^{-1}$を$pE+qA$の形で表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$a$を任意の実数とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第5問2次の正方行列$A,\ B$について，次の各問いに答えよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．
(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{4}{5} & b \\
c & d
\end{array} \right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．
(2)行列$B$の表す移動（1次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$を満たす点$(x,\ y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．
(4)$B \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2 \\
1
\end{array} \right)$を満たす列ベクトル$\left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n \left( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \right)$を求めよ．
国立 愛知教育大学 2010年 第7問2次の正方行列$A,\ B$に対して，次の命題が真か偽かを答えよ．さらに，真ならば証明をし，偽ならば反例をあげよ．
(1)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，和$A+B$も逆行列を持つ．
(2)行列の和$A+B$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．
(3)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，積$ABA$も逆行列を持つ．
(4)行列の積$ABA$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．
(1)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，和$A+B$も逆行列を持つ．
(2)行列の和$A+B$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．
(3)$A,\ B$がともに逆行列を持つならば，積$ABA$も逆行列を持つ．
(4)行列の積$ABA$が逆行列を持つならば，$A,\ B$はともに逆行列を持つ．
国立 山梨大学 2010年 第3問$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$A \neq \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$A \neq -\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす．
(1)$a+d=0,\ ad-bc=-1$が成り立つことを示せ．
(2)$x^2+y^2 \neq 0,\ s^2+t^2 \neq 0,\ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)=-\left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)$を満たす実数$x,\ y,\ s,\ t$があることを示せ．
(3)さらに，$b=c$ならば，(2)の$x,\ y,\ s,\ t$は$xs+yt=0$を満たすことを示せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$A \neq \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$A \neq -\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす．
(1)$a+d=0,\ ad-bc=-1$が成り立つことを示せ．
(2)$x^2+y^2 \neq 0,\ s^2+t^2 \neq 0,\ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)=-\left( \begin{array}{c}
s \\
t
\end{array} \right)$を満たす実数$x,\ y,\ s,\ t$があることを示せ．
(3)さらに，$b=c$ならば，(2)の$x,\ y,\ s,\ t$は$xs+yt=0$を満たすことを示せ．
私立 東京女子大学 2010年 第8問$a,\ b$は実数とする．$2$次正方行列 $A$があって，
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right) \]
が成り立っている．
(1)$ab \neq 1$のとき$A$を求めよ．
(2)$ab=1$のとき，$a$を求め，この$a$の値に対して上の条件を満たす行列$A$が$2$個以上あることを示せ．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right) \]
が成り立っている．
(1)$ab \neq 1$のとき$A$を求めよ．
(2)$ab=1$のとき，$a$を求め，この$a$の値に対して上の条件を満たす行列$A$が$2$個以上あることを示せ．
公立 大阪市立大学 2010年 第1問$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)2次正方行列$X,\ Y$が共に逆行列をもてば，積$XY$も逆行列をもつことを示せ．
(2)すべての実数$s$について，$A+sE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)すべての実数$t$について，$A^2+3tA+2t^2E$は逆行列をもつことを示せ．
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)2次正方行列$X,\ Y$が共に逆行列をもてば，積$XY$も逆行列をもつことを示せ．
(2)すべての実数$s$について，$A+sE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)すべての実数$t$について，$A^2+3tA+2t^2E$は逆行列をもつことを示せ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第2問$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．
公立 大阪府立大学 2010年 第4問2次の正方行列$A$の表す1次変換を$f$とする．(すなわち，行列$A$で表される座標平面上の点の移動を$f$とする．) \ $f$により，点$(1,\ 1)$は点$(2,\ 2)$に移り，点$(1,\ -1)$は点$(-1,\ 1)$に移る．次の問いに答えよ．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．
(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．