次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

実数を成分とする2次正方行列$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & 3
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
b & 1 \\
0 & b
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
p & q
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$n$を正の整数とするとき，$B^n$を求めよ．
(2)$AP = PB$が成り立つように，$b,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，$A^n$を求めよ．

2次の正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$t$の2次方程式
\[ t^2-(a+d)t+ad-bc=0 \cdots\cdots \ (*) \]
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)$(*)$の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，
\[ (A-\beta E) \biggl( \begin{array}{c}
b \\
y
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr) \]
をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．

$3$次の正方行列$\left( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$A$と同じ型の単位行列を$E$，零行列を$O$とする．

(1)$A^3$を求めよ．
(2)$A^3=O$であるための必要十分条件は，$a=d=f=0$であることを示せ．
(3)$(A+E)^3=E$ならば，$A=O$であることを示せ．

$k$を正の定数とする．直線$y=kx$を$\ell$とし，原点Oを通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．2次正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．$f$により，直線$\ell$上の点は自分自身に移り，直線$m$上の点は原点に移るとする．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pの$f$による像をQとする．

\mon[(i)] 点Qは直線$\ell$上の点であることを示せ．
\mon[(ii)] 点Pが直線$\ell$上の点でないとき，直線PQと直線$\ell$は垂直であることを示せ．
\mon[(iii)] 3点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 2)$を頂点とする三角形の辺上を点Pが動くとき，点Qの動く範囲を求めよ．

$xy$平面において，原点を中心としP$(1,\ 0)$を頂点の1つとする正6角形を$X$とする．$A$を2次の正方行列とし，$X$の各頂点$(x,\ y)$に対して，行列$A$の表す移動
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
で得られる点$(x^\prime,\ y^\prime)$は$X$の辺上の点(頂点を含む)であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pが行列$A$の表す移動でP自身に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．
(2)点Pが行列$A$の表す移動で$X$のある頂点に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．

実数を成分にもつ2次の正方行列について，次の問いに答えよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr), O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．

(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{cc}
c & -d \\
d & c
\end{array} \biggr)$が$AB=O$を満たすとき，$A=O$または$B=O$が成り立つことを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
p & -q \\
q & p
\end{array} \biggr)$のとき，$X^2=-E$を満たす$p,\ q$をすべて求めよ．
(3)$Y=\biggl( \begin{array}{cc}
r & -s \\
s & r
\end{array} \biggr)$のとき，$Y^3=E$を満たす$r,\ s$をすべて求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を考える．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという．このとき，行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという．このとき，行列$A$を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ．また，その条件が成り立っているとき，直線$L$の方程式を求めよ．

3次正方行列
\[ E=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right),\quad X=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$X^2$と$X^3$を求めよ．
(2)$X^{101}$を求めよ．
(3)$X^{100}+X^{99}+X^{98}+\cdots +X+E$を求めよ．

2次の正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & -1
\end{array} \biggr)$と$X=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$において，次の関係式を考える．
\begin{align}
& AX=XA & \cdots\cdots\maru{1} \nonumber \\
& X^3=X & \cdots\cdots\maru{2} \nonumber
\end{align}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$X$が\maru{1}を満たすとき，$X$を$a$と$c$だけを用いて表せ．
(2)$c=0$のとき，\maru{1}と\maru{2}を満たす$X$をすべて求めよ．
(3)$c \neq 0$のとき，\maru{1}と\maru{2}を満たす$X$をすべて求めよ．