「正方行列」について
タグ「正方行列」の検索結果
（5ページ目：全84問中41問～50問を表示）
国立 徳島大学 2012年 第3問2次の正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P$(x_1,\ y_1)$，Q$(x_2,\ y_2)$があって，次の2つの条件を満たす．
条件1：1次変換$f$により，点Pは点$(-2x_2,\ -2y_2)$に移る．
条件2：合成変換$f \circ f$により，点Qは点$(4x_1,\ 4y_1)$に移る．
(1)行列$A^3$で表される1次変換により，点Pは点$(-8x_1,\ -8y_1)$に，点Qは点$(-8x_2,\ -8y_2)$に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，$x_1y_2-x_2y_1 \neq 0$を示せ．
(3)$A^3=-8E$を示せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
条件1：1次変換$f$により，点Pは点$(-2x_2,\ -2y_2)$に移る．
条件2：合成変換$f \circ f$により，点Qは点$(4x_1,\ 4y_1)$に移る．
(1)行列$A^3$で表される1次変換により，点Pは点$(-8x_1,\ -8y_1)$に，点Qは点$(-8x_2,\ -8y_2)$に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，$x_1y_2-x_2y_1 \neq 0$を示せ．
(3)$A^3=-8E$を示せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
国立 島根大学 2012年 第4問原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．
(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．
国立 島根大学 2012年 第3問原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P$_0(1,\ 0)$，P$_1(x_1,\ y_1)$，P$_2(x_2,\ y_2)$を$y_1>0$かつ$\triangle$P$_0$P$_1$P$_2$が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．
(1)P$_1$の座標$(x_1,\ y_1)$とP$_2$の座標$(x_2,\ y_2)$を求めよ．
(2)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$A$を求めよ．
(3)$B \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)$と$B \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right)$をみたす2次の正方行列$B$を求めよ．
(4)(2)，(3)で求めた行列$A,\ B$と正の整数$n$に対して，$(AB+BABA)^n$を求めよ．
国立 山形大学 2012年 第4問$2$次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす$2$次正方行列$X$を求めよ．
(4)$(3)$の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は零行列とする．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす$2$次正方行列$X$を求めよ．
(4)$(3)$の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は零行列とする．
国立 山形大学 2012年 第4問2次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす2次正方行列$X$を求めよ．
(4)(3)の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は2次の単位行列，$O$は零行列とする．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす2次正方行列$X$を求めよ．
(4)(3)の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は2次の単位行列，$O$は零行列とする．
国立 電気通信大学 2012年 第4問次の条件をみたす2次正方行列$A,\ B$を考える．
\[ AB=-E,\quad A-B=E \quad (E \text{は単位行列}) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A^2-A$を求めよ．
(2)$A^3$を求めよ．
(3)$A^n=E$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．
(5)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1
\end{array} \right)$となるとき，$A$を求めよ．
\[ AB=-E,\quad A-B=E \quad (E \text{は単位行列}) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A^2-A$を求めよ．
(2)$A^3$を求めよ．
(3)$A^n=E$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．
(5)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1
\end{array} \right)$となるとき，$A$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2012年 第3問$a,\ b$を実数とし，
\[ S=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする．$2$次正方行列$N$が$N^2=O,\ SN=NS$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$a=b$または$N=O$であることを示せ．
(2)$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，
\[ (S+N)^n=S^n+nS^{n-1}N \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，
\[ (S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}N \]
が成り立つことを示せ．
(4)$N=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，$2$以上の自然数$n$に対して，$(S+SN+N)^n$を求めよ．
\[ S=\left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
とする．$2$次正方行列$N$が$N^2=O,\ SN=NS$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$a=b$または$N=O$であることを示せ．
(2)$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，
\[ (S+N)^n=S^n+nS^{n-1}N \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，
\[ (S+SN+N)^n=S^n+nS^nN+nS^{n-1}N \]
が成り立つことを示せ．
(4)$N=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，$2$以上の自然数$n$に対して，$(S+SN+N)^n$を求めよ．
私立 立教大学 2012年 第1問$3$つの$2$次正方行列
\[ A= \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
a & 1
\end{array}
\right),\quad B= \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z
\end{array}
\right),\quad C= \left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-2 & 3
\end{array}
\right) \]
があり，$AB=CA$が成立している．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．
(1)$a,\ x,\ y,\ z$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$の値を用いて，$A^{-1}$を求めよ．
(3)(1)で求めた$x,\ y,\ z$の値を用いて，自然数$n$に対し，$B^n$を求めよ．
(4)自然数$n$に対し，$C^n$を求めよ．
\[ A= \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
a & 1
\end{array}
\right),\quad B= \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z
\end{array}
\right),\quad C= \left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-2 & 3
\end{array}
\right) \]
があり，$AB=CA$が成立している．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．
(1)$a,\ x,\ y,\ z$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$の値を用いて，$A^{-1}$を求めよ．
(3)(1)で求めた$x,\ y,\ z$の値を用いて，自然数$n$に対し，$B^n$を求めよ．
(4)自然数$n$に対し，$C^n$を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．
(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．
(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．
(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．
(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．
(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．
公立 大阪市立大学 2012年 第4問$|a^2 - 2b^2|=1$をみたす整数$a,\ b$によって，$\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする．このとき，$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して，$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく．次の問いに答えよ．
(1)二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2)$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3)$U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．
(4)$U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする．このとき，$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して，$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく．次の問いに答えよ．
(1)二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2)$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3)$U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．
(4)$U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．