$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$について以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．

(1)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を満たす$A$は存在しないことを示せ．
(2)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$を満たす$A$をすべて求めよ．
(3)(2)で求めた$A$のそれぞれについて$A+A^2+A^3+\cdots +A^{2013}$を求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc$とおく．たとえば単位行列$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (E)=1 \times 1-0 \times 0=1$となる．また$K=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
5 & 7
\end{array} \right)$に対しては$\Delta (K)=2 \times 7-3 \times 5=-1$となる．次の各問いに答えよ．

(1)$P=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 3
\end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$に対して$R=PQ$とおく．$\Delta (P),\ \Delta (Q),\ \Delta (R)$を計算し，$\Delta (R)=\Delta (P) \Delta (Q)$が成り立つことを確かめよ．
(2)すべての$2$次の正方行列$A,\ B$に対して，$C=AB$とおくと$\Delta (C)=\Delta (A) \Delta (B)$が成り立つことを示せ．
(3)$X^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$となる$2$次の正方行列$X$ですべての成分が実数であるようなものは存在しないことを示せ．
(4)$2$次の正方行列$A$に逆行列$B$が存在したとする．$A$と$B$の成分がすべて整数ならば，$\Delta (A)$は$1$か$-1$のどちらかである．このことを示せ．

$A$を$2$次正方行列とする．座標平面上の点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$が，$A$の表す移動により$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，$A^2$の表す移動により$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に移るとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．
(2)$\displaystyle B=\frac{1}{2}A^3$とする．$B$の表す移動によって，点$\mathrm{P}_1$が移る点を$\mathrm{P}_2$と定め，点$\mathrm{P}_2$が移る点を$\mathrm{P}_3$と定める．以下同様にして$B$の表す移動によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n$と定める．このとき，点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)(2)で定めた点$\mathrm{P}_n$から曲線$y=x^2$に引いた接線で，$x$軸に平行でないものの傾きを$a_n$とおく．このとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

$X_1=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array} \right)$，$X_2=\left( \begin{array}{cc}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，
\[ \begin{array}{r}
X_n=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{9}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-1}-\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-2}+\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right) \\
(n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)
\end{array} \]
で定義される$2$次の正方行列の列がある．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とする．$C=P^{-1}(kA+lB)P$を満たす実数$k$と$l$を求めよ．
(2)$C+C^2+\cdots +C^n=\left( \begin{array}{cc}
\alpha_n & \beta_n \\
\gamma_n & \delta_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\alpha_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\beta_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\gamma_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n$を求めよ．
(3)$X_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$としたとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$が存在するかどうかを考察し，存在する場合はその値を求めよ．

$2$次正方行列$A_0,\ B$を
\[ A_0=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
とおく．$2$次正方行列$A_1,\ A_2,\ \cdots$を$A_{n+1}=BA_n+A_0 (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$で定める．

(1)$A=BA+A_0$を満たす$2$次正方行列$A$を求めよ．
(2)$B^2,\ B^3$を求めよ．
(3)$A_{15}$の表す$1$次変換を$f$とし，点$\mathrm{P}(-2t+3,\ t)$を$f$で移した点を$\mathrm{Q}$とする．$t$が実数全体を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めよ．

$A,\ B,\ P$を実数を成分とする$2$次の正方行列とする．$P$は逆行列をもち，$P^{-1}AP$の$(1,\ 2)$成分と$(2,\ 1)$成分は$0$となるものとする．$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
a_1 & 0 \\
0 & a_2
\end{array} \right)$，$P^{-1}BP=\left( \begin{array}{cc}
b_1 & b_2 \\
b_3 & b_4
\end{array} \right)$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$a_1 \neq a_2$かつ$AB=BA$が成り立つとき，$b_2=b_3=0$であることを示しなさい．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
c & 1 \\
-1 & -1
\end{array} \right)$とするとき，$a_1,\ a_2,\ c$の値を求めなさい．
(3)$A,\ P$を(2)で与えた行列とし，$B=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$とする．正の整数$m,\ n$に対し，$(A^m+B^m)^n$を求めなさい．

$2$次の正方行列$A,\ B$が$AB \neq BA$，$A^2B=ABA=BA^2$を満たすとする．

(1)$A$は逆行列をもたないことを証明せよ．
(2)$A^2$を求めよ．
(3)$B^2$が単位行列$E$のとき，$AB+BA$を求めよ．

$2$次の正方行列について，以下の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

(1)行列$S=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & d
\end{array} \right),\ T=\left( \begin{array}{cc}
e & f \\
g & h
\end{array} \right)$が，$TS=E$を満たすならば，$ST=E$となることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（ただし，$a \neq 0$）に対して，行列$B$は$BA=E$を満たすとする．さらに，$\displaystyle P=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-\displaystyle\frac{c}{a} & 1
\end{array} \right),\ Q=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\displaystyle\frac{c}{a} & 1
\end{array} \right)$を考えて，$M=PA,\ N=BQ$とおく．

(i) $NM=E$を示せ．
(ii) $MN=E$を示し，$AB=E$となることを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を実数として，$A,\ B,\ C$を
\[ A=a+b+c,\quad B=a^2+b^2+c^2,\quad C=a^3+b^3+c^3 \]
とおく．このとき$abc$を$A,\ B,\ C$を用いて表せ．
(2)$n$を自然数とする．このとき
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2} \]
を求めよ．
(3)ボタンを押すと$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$いずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が表示される確率は，等しくかつ$\mathrm{Z}$が表示される確率の$2$倍である，とする．いま，ボタンを$5$回続けて押す．このとき，（$\mathrm{XYZYX}$のように）$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$すべての文字が少なくとも$1$回表示される確率を求めよ．
(4)逆行列をもつ$2$次の正方行列$A$が表す$1$次変換が，円$C:(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=3^2$上の点を$C$上の点に移すとき，$A$を求めよ．ただし，$A$は単位行列と異なる行列とする．
(5)定積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sin x+\cos x} \, dx \]
を求めよ．

$2$次の正方行列$A,\ B$はそれぞれ
\begin{eqnarray}
A \left( \begin{array}{r}
-3 \\
5
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right), & & \quad A \left( \begin{array}{r}
7 \\
-9
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right), \nonumber \\
B \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-5 \\
6
\end{array} \right), & & \quad B \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-7 \\
10
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたすものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列を表すものとする．

(1)行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ．
(2)$(AB)^3 = E$であることを示せ．
(3)行列$A$から始めて，$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \]
および行列$B$から始めて，$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列
\[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \]
を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．