実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，$2$次正方行列$A,\ O$を次で定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]

(1)行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき，
\[ A=\left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
r & s
\end{array} \right) \]
となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2)ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，$2$次正方行列$A,\ O$を次で定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]

(1)行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき，
\[ A=\left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
r & s
\end{array} \right) \]
となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2)ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．

実数を成分とする$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(A)=a+d$，$\Delta(A)=ad-bc$と定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

(1)等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．
(2)実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を満たすとし，$\alpha=T(X)$，$\beta=\Delta(X)$とおく．

(i) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $(X^2Y-YX^2)^2=E$，$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$b \neq 0$または$c \neq 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ．
(2)実数$k$が$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を定数として，$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．
(4)$k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．

次の条件を満たす$2$次正方行列$A,\ B$がある．
\[ A^2=E,\quad B^2=-E,\quad AB+BA=O \]
ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) (A+B+AB)^2=E \qquad (ⅱ) A+B \neq O \qquad (ⅲ) AB \neq E \]
(2)$(A+B)C=O$となる零行列でない$2$次正方行列$C$が存在することを示せ．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とし，$t$は実数とする．$A$は，$A^3=E$を満たす$2$次の正方行列とする．

(1)$(A-tE)(A^2+tA+t^2E)$を$t$と$E$を用いて表せ．
(2)$t \neq 1$のとき$A-tE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)次の$3$つの命題を証明せよ．

(i) $A=E$ならば，$A^2+A+E \neq O$である．
(ii) $A^2+A+E \neq O$ならば，$A-E$は逆行列をもたない．
(iii) $A-E$が逆行列をもたないならば，$A=E$である．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とし，$t$は実数とする．$A$は，$A^3=E$を満たす$2$次の正方行列とする．

(1)$(A-tE)(A^2+tA+t^2E)$を$t$と$E$を用いて表せ．
(2)$t \neq 1$のとき$A-tE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)次の$3$つの命題を証明せよ．

(i) $A=E$ならば，$A^2+A+E \neq O$である．
(ii) $A^2+A+E \neq O$ならば，$A-E$は逆行列をもたない．
(iii) $A-E$が逆行列をもたないならば，$A=E$である．

$A,\ B$は共に実数を成分とする$2$次の正方行列で，条件
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
4 & -1 \\
-6 & 3
\end{array} \right),\quad A^{-1}B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{6} & \displaystyle\frac{1}{3} \\
-\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]
を満たすものとする．

(1)$B^{-1}A=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ア} & -\mkakko{イ} \\
\mkakko{ウ} & -\mkakko{エ}
\end{array} \right)$である．

(2)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{オ} & -\mkakko{カ} \\
\mkakko{キ} & \mkakko{ク}
\end{array} \right)$である．

(3)条件を満たす$A$は以下の$4$つである．
\[ A=\pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ケ} & -\displaystyle\frac{\mkakko{コ}}{\mkakko{サ}} \\
\mkakko{シ} & \mkakko{ス} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right),\quad \pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{セ} & \mkakko{ソ} \\
\mkakko{タ} & -\mkakko{チ} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]

$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (*) a=d \text{かつ} b=-c \]
を考える．$(*)$を満たす$M$に対して，実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，積$AB$も$(*)$を満たすことを証明しなさい．
(2)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$A=16 \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい．ただし，本問においては$\log_{10}2=0.301$とする．

$a,\ b$を定数とし，$2$次の正方行列$A,\ X,\ Y$は
\[ A=aX+bY,\quad X+Y=E,\quad XY=O \]
をみたすとする．ここで，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列を表す．このとき，$X+Y=E$の両辺に左から$X$を掛けると$X^2=X$が成り立つことがわかる．

(1)$Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ．
(2)$A$が$E$の定数倍ではないとき，$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
6 & 3
\end{array} \right)$のとき，$a,\ b (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ．