（旧課程履修者）行列$A,\ E$を$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，$a,\ b$を$a^2+b^2 \neq 0$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$A^2$を求めよ．
(2)$X=aA+bE$の逆行列$X^{-1}$を求めよ．
(3)$B^2=-E$を満たす任意の$2$次の正方行列$B$について，$(aB+bE)(-aB+bE)=sB+tE$となる実数$s,\ t$を$a,\ b$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$B$に対して$Y=aB+bE$とおくとき，$pB+qE$が$Y$の逆行列$Y^{-1}$と等しくなるような実数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．

次の$(1),\ (2)$から$1$題を選択し解答せよ．

(1)等式$\displaystyle |\displaystyle\frac{i|{z}-1}=|\displaystyle\frac{1|{z}-k}$を満たすすべての複素数$z$に対して不等式$|z| \leqq 2$が成り立つような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)実数$k$と$2$次の正方行列$A$は$A^2-kA+3E=O$を満たすとする．また，座標平面上で$A$の表す移動によって，点$(1,\ 1)$は点$(3,\ 3)$へ移り，直線$y=-x$上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，$A$を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．

（旧課程履修者）$2$次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -2
\end{array} \right) \]
に対して，数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$を
\[ \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．

(1)$\left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right),\ \left( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \right),\ \left( \begin{array}{c}
x_4 \\
y_4
\end{array} \right)$を求めよ．
(2)一般項$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1,\ A_2,\ A_3,\ \cdots$が，関係式
\[ A_{n+1}A_n=A_n+2E \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち，
\[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \]
が成立することを示せ．
(2)$B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．

実数を成分とする正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)$AB=BA$を満たす$A$は，実数$x,\ y$を用いて$A=xB+yE$と表せることを示せ．
(2)$A^3=E$のとき
\[ (t^2-\Delta)A=(t \Delta+1)E \]
を示せ．ただし，$t=a+d$，$\Delta=ad-bc$とする．
(3)$AB=BA$かつ$A^3=E$を満たす$A$をすべて求めよ．

$A$を$2$次の正方行列とし，$O$を$2$次の零行列，$E$を$2$次の単位行列とする．$P=A-E$とおいたとき，$P^2=O$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)等式$A^2=2P+E$と$A^3=3P+E$を示しなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を$P$と$E$で表しなさい．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$のとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めなさい．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$4P+Q=A$と$P+Q=E$を満たす$2$次正方行列$P,\ Q$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$P,\ Q$に対して，$PQ,\ QP$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
(4)$A^n$の逆行列を$B_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$を求めよ．

実数$a,\ b,\ c (b \neq 0)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-(a+c)x+ac-b^2=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$(1)$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$x$についての恒等式
\[ (x+p)(x-\alpha)-(x+q)(x-\beta)=1 \]
が成り立つとき，定数$p,\ q$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$と$(2)$の$\alpha,\ p$に対して，$B=(A+pE)(A-\alpha E)$とおく．このとき，$B^2=B$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

次の各問いに答えよ．

(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．

(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．

$a,\ b$を実数とし，$2$次の正方行列を$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & b-1 \\
a^2-1 & b^2-1
\end{array} \right)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)行列$A$が逆行列をもたないような実数$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回振って出た目の数を順に$a,\ b$とおく場合を考える．このとき，行列$A$が逆行列をもたない確率を求めよ．ただし，さいころの$1$から$6$までの目の出方は，同様に確からしいものとする．