座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

$r$を$0<r<2$をみたす実数とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(2-r,\ 2-r)$，$\mathrm{B}(-2+r,\ 2-r)$，$\mathrm{C}(-2+r,\ -2+r)$，$\mathrm{D}(2-r,\ -2+r)$を頂点とする正方形を考える．この正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を動く点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の円を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を一周するとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S$を最大にする$r$の値を求めよ．

座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$を考える．$x$軸上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{AQ}=\mathrm{QP}$であることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}$は$x$軸の閉区間$[0,\ 1]$にあるとする．このとき，直線$\ell$が正方形$\mathrm{ABCO}$を二つの部分に切る．そのうちの点$\mathrm{C}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

下図のような$1$辺の長さ$10 \, \mathrm{cm}$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1 \, \mathrm{cm}$進む．また，点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$2 \, \mathrm{cm}$進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$35 \, \mathrm{cm}^2$となる時刻をすべて求めよ．

\begin{zahyou*}%
[ul=10mm,Ueyohaku=1em,
Hidariyohaku=1em,%
Sitayohaku=1em]%
(0,3)(0,3)
\tenretu{A(0,3)nw;B(0,0)sw;%
C(3,0)se;D(3,3)ne}
\Takakkei{\A\B\C\D}
\end{zahyou*}

座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

下図のような$1$辺の長さ$10 \, \mathrm{cm}$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$は時刻$0$に$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$をそれぞれ出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$1 \, \mathrm{cm}$進む．また，点$\mathrm{R}$は時刻$0$に$\mathrm{B}$を出発し，正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を反時計回りに毎秒$2 \, \mathrm{cm}$進む．点$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に達するまでに$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$35 \, \mathrm{cm}^2$となる時刻をすべて求めよ．

\begin{zahyou*}%
[ul=10mm,Ueyohaku=1em,
Hidariyohaku=1em,%
Sitayohaku=1em]%
(0,3)(0,3)
\tenretu{A(0,3)nw;B(0,0)sw;%
C(3,0)se;D(3,3)ne}
\Takakkei{\A\B\C\D}
\end{zahyou*}