底面が正方形で，4個の側面がすべて合同な二等辺三角形である四角錘を考える．底面の正方形の一辺の長さを$x$，側面の二等辺三角形の等しい辺の長さを$a$とする．この四角錘の体積を$V$として，次の各問に答えよ．

(1)$V$を$a$と$x$で表せ．
(2)$x$のとりうる値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点を$\mathrm{O}$，底面を正方形$\mathrm{ABCD}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点となるようなすべての点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

座標平面上に4点O$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(4,\ 4)$，C$(0,\ 4)$をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．

1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．

この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．

(1)ゲームの終了時に，点Pの座標が$(4,\ 1)$である確率を求めよ．
(2)このゲームの得点が8となる確率を求めよ．
(3)このゲームの得点の期待値を求めよ．

次のような道路の図において，最も小さな正方形の1辺の長さは1mであるとする．このとき，次の問いに答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）


(1)A地点からB地点まで最短距離で行く経路は何通りあるかを求めよ．
(2)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，C地点を通らないものは何通りあるかを求めよ．
(3)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが5m以上であるものは何通りあるかを求めよ．
(4)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが4m以上であるものは何通りあるかを求めよ．

正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=[　]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AN}}=[　]$である．

一辺の長さ$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．まず辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$を決め，辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$上の点$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{DA}$上の点$\mathrm{H}$を「四角形$\mathrm{EFGH}$が長方形になる」ようにとる．線分$\mathrm{BE}$の長さを$x (0<x<1)$とおき，以下の設問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{BF}$の長さを$x$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FCG}$の面積を$x$で表せ．

一辺の長さが$2a$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする高さ$h$の正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．ここで，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$の長さはすべて等しい．正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$に内接する球を$Q_1$とし，また正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$の$4$つの側面と$Q_1$に接する球を$Q_2$とする．以下同様にして球$Q_3,\ Q_4,\ \cdots,\ Q_n$をつくる．次の問いに答えよ．

(1)球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ．
(2)球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ．
(3)球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ．
(4)$h=2\sqrt{2}a$のとき，球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ．