「正弦定理」について
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(1ページ目:全2問中1問~10問を表示)![長岡技術科学大学](./img/univ/nagaoka.png)
平面上の原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とし,点$\mathrm{A}(2,\ 0)$をとる.また,$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする.$C$上の点$\mathrm{P}$に対して$\angle \mathrm{AOP}=\theta$,$\angle \mathrm{APO}=\phi$,$\mathrm{AP}=z$とおく.ただし,$0<\theta<\pi$とする.下の問いに答えなさい.
(1)正弦定理を用いて$z$を$\theta$と$\phi$で表しなさい.
(2)余弦定理を用いて$z^2$を$\theta$で表しなさい.
(3)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$を$\phi$で表しなさい.
(4)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$の最大値,およびその最大値を与える$\theta$の値を求めなさい.
(1)正弦定理を用いて$z$を$\theta$と$\phi$で表しなさい.
(2)余弦定理を用いて$z^2$を$\theta$で表しなさい.
(3)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$を$\phi$で表しなさい.
(4)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$の最大値,およびその最大値を与える$\theta$の値を求めなさい.
![大分大学](./img/univ/oita.png)
次の問いに答えよ.
(1)正弦定理の証明をせよ.ただし,鋭角三角形の場合だけの証明でよい.
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ.ただし,$n$は自然数である.
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]
(1)正弦定理の証明をせよ.ただし,鋭角三角形の場合だけの証明でよい.
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ.ただし,$n$は自然数である.
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]