「正四面体」について
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国立 愛媛大学 2014年 第1問$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
国立 愛媛大学 2014年 第4問$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
国立 愛媛大学 2014年 第1問$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
国立 京都教育大学 2014年 第4問次の問に答えよ．
(1)正四面体の$4$面を赤，青，黄，緑の$4$色すべてを使って塗り分ける方法は$2$通りある．ただし，正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．この$2$通りを図示せよ．
(2)立方体の$6$面を赤，青，黄，緑，紫，茶の$6$色すべてを使って塗り分ける．次の塗り分け方はそれぞれ何通りあるか求めよ．ただし，立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．
(i) 赤と青が隣り合う塗り方．
(ii) 赤と青が隣り合わない塗り方．
(1)正四面体の$4$面を赤，青，黄，緑の$4$色すべてを使って塗り分ける方法は$2$通りある．ただし，正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．この$2$通りを図示せよ．
(2)立方体の$6$面を赤，青，黄，緑，紫，茶の$6$色すべてを使って塗り分ける．次の塗り分け方はそれぞれ何通りあるか求めよ．ただし，立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす．
(i) 赤と青が隣り合う塗り方．
(ii) 赤と青が隣り合わない塗り方．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする．$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし，直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする．三角形$\mathrm{ODE}$の面積は$\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$であり，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{5}{54}$倍である．このとき，
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
私立 自治医科大学 2014年 第19問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$について考える．辺$\mathrm{AB}$および辺$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$8 \overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BN}}$の値を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．
(1)底面の半径が$2$で高さが$h$の円錐の体積と，半径$3$の球の体積が等しいとき，$h=[$\mathrm{A]$}$である．
(2)$2$次方程式$x^2+5x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値は$[$\mathrm{B]$}$である．
(3)成功する確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$の実験を$5$回繰り返すとき，$5$回目の実験がちょうど$3$度目の成功となる確率は$[$\mathrm{C]$}$である．ただし，どの実験の結果も他の実験の結果に影響を及ぼさないとする．
(4)$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{APD}=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数
\[ f(\theta)=(1+2 \cos \theta)(3-\cos 2\theta) \]
の最大値と最小値を求めなさい．
私立 同志社大学 2014年 第2問座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$，$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．
私立 松山大学 2014年 第3問次の空所$[ア]$～$[ソ]$を埋めよ．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．
公立 富山県立大学 2014年 第1問$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が垂直であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$のなす角$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が垂直であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$のなす角$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を求めよ．