「正四面体」について
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国立 熊本大学 2014年 第1問空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．
(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．
(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第2問一辺の長さが$a$である正四面体の体積が$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}$のとき，次の問いに答えよ．
(1)底面の面積を$a$で表せ．
(2)正四面体の高さを$a$で表せ．
(3)$a$の値を求めよ．
(1)底面の面積を$a$で表せ．
(2)正四面体の高さを$a$で表せ．
(3)$a$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第2問一辺の長さが$a$である正四面体の体積が$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}$のとき，次の問いに答えよ．
(1)底面の面積を$a$で表せ．
(2)正四面体の高さを$a$で表せ．
(3)$a$の値を求めよ．
(1)底面の面積を$a$で表せ．
(2)正四面体の高さを$a$で表せ．
(3)$a$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第3問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2014年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$に対し，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$の比に内分する点を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{CD}$を$u:(1-u)$の比に内分する点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$0<t<1$，$0<u<1$とする．次の問いに答えよ．
(1)$4$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一平面上にあるならば，$t=u$が成り立つことを示せ．
(2)$t=u$のとき，$\mathrm{EF}^2+\mathrm{FH}^2+\mathrm{HG}^2+\mathrm{GE}^2$の値の範囲を求めよ．
(1)$4$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一平面上にあるならば，$t=u$が成り立つことを示せ．
(2)$t=u$のとき，$\mathrm{EF}^2+\mathrm{FH}^2+\mathrm{HG}^2+\mathrm{GE}^2$の値の範囲を求めよ．
国立 奈良女子大学 2014年 第4問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CM}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=y \overrightarrow{\mathrm{CM}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$が垂直であるとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{CMP}$の面積の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CM}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=y \overrightarrow{\mathrm{CM}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$が垂直であるとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{CMP}$の面積の最小値を求めよ．
国立 岐阜大学 2014年 第1問$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
国立 岐阜大学 2014年 第1問$t$は実数で$0<t<2$とする．図のように，$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QB}$の長さを，それぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき，三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．