一辺の長さが$2$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OD}:\mathrm{DA}=2:1$，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=3:2$となるように点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．三角形$\mathrm{ODE}$の面積を求めよ．

$a_1,\ a_2,\ c_1,\ c_2,\ c_3$を実数とする．$xyz$空間で，正四面体$\mathrm{OABC}$の座標が，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 6,\ 0)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$であり，$a_1>0$，$c_3>0$であるとする．動点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{O}$を出発して辺$\mathrm{OC}$上を一定の速さで動き，$2$秒かかって$\mathrm{C}$に到着する．動点$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{P}$が出発してから最初の$1$秒間は$\mathrm{B}$に静止しており，その後，一定の速さで辺$\mathrm{BA}$上を動き，$1$秒かかって$\mathrm{A}$に到着する．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$c_1,\ c_2,\ c_3$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq 2$）における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$の最小値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとする．このとき，$\cos \angle \mathrm{PDQ}$の最大値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体を$\mathrm{OABC}$とし，$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(5)正四面体の体積$V$を求めよ．

$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．

(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

一辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$a$で表せ．

$1$辺の長さが$\sqrt{15}$である正四面体$\mathrm{OABC}$について考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=m$としたとき，$\displaystyle \frac{64m^2}{185}$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$，$\beta$をもつとする．このとき，定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である．さらに，このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である．
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち，$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である．また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である．
(3)$n$を自然数とする．白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする．このとき$p_n=[キ]$である．また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である．

空間内に，一辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，また，辺$\mathrm{OC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<k<1$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|$を$k$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$k$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{EAB}$の面積$S$を$k$を用いて表せ．さらに，面積$S$を最小にする$k$の値とそのときの面積を求めよ．