「正四面体」について
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私立 大同大学 2011年 第7問$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AE}=1$，$\mathrm{CF}=3$とする．このとき$\mathrm{CE}=\mathrm{DE}=\sqrt{[ ]}$，$\mathrm{EF}=\sqrt{[ ]}$であり，$\angle \mathrm{BFE}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．
国立 弘前大学 2010年 第5問各辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，辺OBを$3 : 1$に内分する点をP，辺OCの中点をQ，辺BCの中点をRとする．また，直線PQと直線ORとの交点をXとするとき，次の問いに答えよ．
(1)線分OXの長さを求めよ．
(2)線分AXの長さを求めよ．
(1)線分OXの長さを求めよ．
(2)線分AXの長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第4問すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2010年 第3問すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2010年 第3問すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点を$\mathrm{O}$，底面を正方形$\mathrm{ABCD}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点となるようなすべての点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が正四面体の頂点となるようなすべての点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 愛知教育大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．
(1)座標空間内の点A$(0,\ 1,\ 0)$，B$(0,\ -1,\ 0)$に対して，ABCDが正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点Cと空間内の$z>0$の部分にある点Dの座標をそれぞれ求めよ．
(2)$\triangle$ABCの重心をEとする．線分DEを$3:1$に内分する点Gの座標を求めよ．
(3)$\angle \text{AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(4)$\triangle$AGDの面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第1問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{DE}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{X}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)(2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)(2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
私立 北星学園大学 2010年 第2問底面の半径が$a$，高さが$2a$の円柱にちょうど入る球または円錐がある．以下の問に答えよ．
(1)この円柱，球，円錐の体積の比を求めよ．
(2)この円錐と同じ表面積を持つ正四面体の$1$辺の長さを求めよ．
(1)この円柱，球，円錐の体積の比を求めよ．
(2)この円錐と同じ表面積を持つ正四面体の$1$辺の長さを求めよ．
私立 津田塾大学 2010年 第2問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．
私立 獨協医科大学 2010年 第3問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{c}$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=\frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$
である．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\displaystyle \mathrm{OG}:\mathrm{OD}=1:\frac{[ ]}{[ ]}$である．