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福井大学 国立 福井大学 2011年 第1問
1辺の長さが1の正十二面体を考える.点O,A,B,C,D, \\
E,F,Gを図に示す正十二面体の頂点とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$, \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ. \\
ただし,1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい.なお,正十二面体では, \\
すべての面は合同な正五角形であり, 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている.
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(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2011年 第2問
$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える.点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$, \\
$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$を図に示す正十二面体の頂点とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$, \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ. \\
なお,正十二面体では,すべての面は合同な正五角形であり, \\
各頂点は$3$つの正五角形に共有されている.
\img{366_2546_2011_1}{36}


(1)$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを求めて, \\
内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.さらにその長さを求めよ.
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「正十二面体」とは・・・

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