図に示す正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．点$\mathrm{P}$は最初頂点$\mathrm{A}$にあって， \\
サイコロを投げて，$1$または$2$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は右まわり \\
に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する．一方，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\
が出たとき，点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する． \\
サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし，この試行 \\
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
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(1)最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$，続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ．
(2)$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ．
(3)$6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ．

右図のように平面上に正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．時刻$n$ \\
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$において動点$\mathrm{P}$は正六角形の$6$つの頂点 \\
のいずれかにあり，時刻$1$では頂点$\mathrm{A}$にあるものとする． \\
時刻$n+1$には，時刻$n$のときにあった頂点の隣り合う$2$つの \\
頂点のいずれかに移動する．どちらの頂点に移動するかは \\
同様に確からしいものとする．時刻$n$において，動点$\mathrm{P}$が頂点 \\
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にある確率をそれぞれ \\
$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n,\ e_n,\ f_n$とする．以下の問いに答えよ．
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(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2,\ e_2,\ f_2$を求めよ．
(2)$a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3,\ e_3,\ f_3$を求めよ．
(3)$n$が偶数のとき，$b_n+d_n+f_n$を求めよ．
(4)すべての時刻$n$に対して，$b_n=f_n$および$c_n=e_n$が同時に成立することを数学的帰納法を用いて示せ．
(5)$m$を$1$以上の整数とするとき，$d_{2m}$を$m$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}d_{2m}$を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$の面積を求めよ．
(2)各頂点$\mathrm{A}_i$から辺上に反時計回りに$x$だけ進んだ点を$\mathrm{B}_i$とする．ただし$0<x<1$とする．六角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4 \mathrm{B}_5 \mathrm{B}_6$の面積を$x$を使って表し，それが最小となる$x$およびそのときの面積を求めよ．

底面が正六角形ABCDEFで頂点がOの正六角錐O-ABCDEFがある．底面の辺の長さを$a$，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\text{OD}=\text{OE}=\text{OF}=2a$とする．2つの面$\triangle$OABと$\triangle$OBCのなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．