「正六角形」について
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公立 首都大学東京 2015年 第1問点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$の$7$点から異なる$3$点を同時に選ぶとき，以下の問いに答えなさい．
(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．
(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．
国立 広島大学 2014年 第5問正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$j,\ k$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点となる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が正三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が直角三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点となる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が正三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が直角三角形の$3$頂点となる確率を求めよ．
国立 広島大学 2014年 第5問$1$辺の長さが$1$の正六角形において，頂点を反時計回りに$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．$1$個のさいころを$2$回投げて，出た目を順に$j,\ k$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点となるとき，この$3$点を頂点とする三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_j$，$\mathrm{P}_k$が異なる$3$点とならないときは，$S=0$と定める．次の問いに答えよ．
(1)$S>0$となる確率を求めよ．
(2)$S$が最大となる確率を求めよ．
(3)$S$の期待値を求めよ．
(1)$S>0$となる確率を求めよ．
(2)$S$が最大となる確率を求めよ．
(3)$S$の期待値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2014年 第2問正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}$を最も簡単な整数の比で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$のとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第2問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{G}$とおき，正の実数$t$に対して$\mathrm{DE}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{H}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$が垂直に交わるとき，$t$を求めよ．
(5)$(4)$において，その交点を$\mathrm{O}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(6)$(5)$の点$\mathrm{O}$に対して，線分$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$が垂直に交わるとき，$t$を求めよ．
(5)$(4)$において，その交点を$\mathrm{O}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(6)$(5)$の点$\mathrm{O}$に対して，線分$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点$\mathrm{D}$と正六角形の外部の点$\mathrm{G}$を線分で結んだ下のような図形がある．動点$\mathrm{P}$はこの図形の線分上を動き，点から点へ移動する．動点$\mathrm{P}$の隣接する点への移動には$1$秒間を要する．また，隣接する点が複数あるときは，等しい確率でどれか$1$つの点に移動するものとする．
（図は省略）
(1)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$][$55$]}$である．
(2)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$56$][$57$]}{[$58$][$59$]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は$\displaystyle \frac{{[$60$]}^n-{[$61$]}^n}{{[$62$]}^n}$である．ただし，$n$は自然数とする．
（図は省略）
(1)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$][$55$]}$である．
(2)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$56$][$57$]}{[$58$][$59$]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は$\displaystyle \frac{{[$60$]}^n-{[$61$]}^n}{{[$62$]}^n}$である．ただし，$n$は自然数とする．
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[$1$][$2$]}{[$3$]}$，$\displaystyle (2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})=\frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s \overrightarrow{a}+(3-3s) \overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は
\[ \frac{[$7$]}{[$8$]}<s<\frac{[$9$]}{[$10$]} \]
である．
(3)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は
\[ [$11$][$12$] \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q}+[$13$][$14$] \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q}+2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}=0 \]
をみたす．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[$1$][$2$]}{[$3$]}$，$\displaystyle (2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})=\frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s \overrightarrow{a}+(3-3s) \overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は
\[ \frac{[$7$]}{[$8$]}<s<\frac{[$9$]}{[$10$]} \]
である．
(3)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は
\[ [$11$][$12$] \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q}+[$13$][$14$] \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q}+2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}=0 \]
をみたす．