正八面体について考える．$(1)$～$(4)$において，回転すると重なる並び方は同じとする．

(1)頂点の数は$[$3$]$個ある．
(2)頂点に$1,\ 2,\ \cdots$と順に番号を付けていくとき，番号の付け方は$[$4$]$通りある．
(3)$2$つの面を赤に，残りの$6$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$5$]$通りある．
(4)$3$つの面を赤に，残りの$5$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$6$]$通りある．

次のような，一辺の長さが$1$の正八面体を考える．ただし，$\mathrm{M}$は辺$\mathrm{BC}$の中点である．
（図は省略）

(1)$\cos \angle \mathrm{AMD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{AMD}$の面積を求めよ．

正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=1$とする．

(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点を$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき$\mathrm{EF}=\mathrm{FG}=\mathrm{GH}=\mathrm{HE}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCD}$，$\triangle \mathrm{ODA}$の重心を$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$とする．四角形$\mathrm{IJKL}$の面積を求めよ．
(3)一辺の長さ$1$の正八面体の各面の重心を頂点とする多面体の体積を求めよ．

$1$辺の長さが$a$の正八面体について，次の問に答えよ．

(1)表面積$S$を求めよ．
(2)体積$V$を求めよ．
(3)この正八面体に内接する球の半径$r$を求めよ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．

(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．

一辺の長さが$a$の正八面体の体積と，この正八面体に内接する球，外接する球の半径を求めよ．

座標空間において，$8$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{G}(1,\ 1,\ 1)$をとり，この$8$点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，$6$点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\mathrm{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\mathrm{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q$と$\alpha_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \beta_1(\mathrm{O}) \cap \beta_1(\mathrm{D}) \cap \beta_1(\mathrm{E}) \cap \beta_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2} < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \alpha_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ．
(4)$t$が$0<t \leqq 1$の範囲で変化するとき，$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \beta_t(\mathrm{A}) \cap \beta_t(\mathrm{B}) \cap \beta_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ．

座標空間において，8点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$，D$(0,\ 1,\ 1)$，E$(1,\ 0,\ 1)$，F$(1,\ 1,\ 0)$，G$(1,\ 1,\ 1)$をとり，この8点を頂点とする立方体を$Q$とする．また点P$(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し，6点$(x+t,\ y,\ z)$，$(x-t,\ y,\ z)$，$(x,\ y+t,\ z)$，$(x,\ y-t,\ z)$，$(x,\ y,\ z+t)$，$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\text{P})$，その外部の領域を$\beta_t(\text{P})$で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$0 < t \leqq 1$のとき，$Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F})$の体積，すなわち5個の領域$Q$，$\beta_t(\text{O})$，$\beta_t(\text{D})$，$\beta_t(\text{E})$，$\beta_t(\text{F})$の共通部分の体積を$t$で表せ．
(2)$Q \cap \alpha_1(\text{O}) \cap \beta_1(\text{A}) \cap \beta_1(\text{B}) \cap \beta_1(\text{C})$の体積を求めよ．
(3)$\displaystyle 0< t \leqq 1$のとき，
\[ Q \cap \beta_t(\text{O}) \cap \beta_t(\text{A}) \cap \beta_t(\text{B}) \cap \beta_t(\text{C}) \cap \beta_t(\text{D}) \cap \beta_t(\text{E}) \cap \beta_t(\text{F}) \cap \beta_t(\text{G}) \]
の体積を$t$で表せ．