「正五」について
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国立 福井大学 2011年 第1問1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D， \\
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
\img{366_2547_2011_1}{55}
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
\img{366_2547_2011_1}{55}
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．