次の問いに答えよ．

(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．

\mon[(i)] 最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)] 最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．

(2)$a,\ b,\ c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．

正の数$\alpha,\ \beta,\ a,\ b$が$\displaystyle 2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle \tan \alpha=\frac{1}{a}$，$\displaystyle \tan \beta=\frac{1}{b}$を満たすとき，$a$を用いて$b$を表しなさい．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）

正の数$x,\ y$に対して
\[ \log_2x+\log_2y=4,\quad 2^x \times 2^y=1024 \]
であるとき，次の値を求めよ．

(1)$xy=[　]$
(2)$x+y=[　]$

$6$つの面のうち，$3$つの面には$1$と書かれ，$2$つの面には$-1$と書かれ，$1$つの面には$0$と書かれたサイコロがある．このサイコロを$3$回投げたとき，出る数について次の$[　]$をうめよ．

(1)それらの数の積が$0$になる確率は$[$1$]$である．
(2)それらの数の和が$0$になる確率は$[$2$]$である．
(3)それらの数の積が正の数になる確率は$[$3$]$である．
(4)それらの数の和が正の数になる確率は$[$4$]$である．
(5)それらの数の積の期待値は$[$5$]$である．