正の数$a$に対して，空間内の$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{a}},\ 0,\ 0 \right)$，$\mathrm{B} (0,\ \sqrt{a},\ 0)$，$\mathrm{C} (0,\ 0,\ \sqrt{a})$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$a$で表せ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$を$\theta$とおく．$\cos \theta$を$a$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$a$で表せ．
(4)$\displaystyle \frac{S}{\mathrm{BC}}$が最小値をとるときの$a$の値とその最小値を求めよ．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
以下では，曲線$y=ax^2-b$は点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$において$\ell$に接しているとする．ただし，$a$と$b$は正の数である．曲線$y=ax^2-b$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$を$t$で表し，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$S$の最大値を求めよ．なお，$S$がその最大値をとる$t$の値も求めること．

次の各問に答えよ．

(1)正の数$a,\ b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき，$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x>0,\ x \neq 1$のとき，$\displaystyle 1+\frac{1}{\log_2x}-\frac{3}{\log_3x}<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+5(y-1)^2=5$上を動くとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -5 \\
2 & -3
\end{array} \right),\ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．$(I+A)^{2012}=mI+nA$となる実数$m,\ n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(i) $(a+b)(b+c)(c+a)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}=\frac{1}{a^7+b^7+c^7}$が成り立つことを示せ．

(2)$a,\ b,\ c$が正の数で，$a \neq 1,\ c \neq 1$のとき，次の等式が成り立つことを示せ．$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$
(3)不等式$9^x+3^{x+1}-4 \leqq 0$を解け．

正の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$と自然数$n \geqq 2$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．
\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} > \frac{a_1 +a_2 + \cdots +a_n}{1+a_1 +a_2+\cdots+a_n} \]

$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があって，$\ell \overrightarrow{\mathrm{AP}}+m \overrightarrow{\mathrm{BP}}+n \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとする．ただし，$\ell,\ m,\ n$は正の数とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$1$とするとき，$\triangle \mathrm{BCP}$，$\triangle \mathrm{CAP}$，$\triangle \mathrm{ABP}$それぞれの面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があって，$\ell \overrightarrow{\mathrm{AP}}+m \overrightarrow{\mathrm{BP}}+n \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすとする．ただし，$\ell,\ m,\ n$は正の数とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$1$とするとき，$\triangle \mathrm{BCP}$，$\triangle \mathrm{CAP}$，$\triangle \mathrm{ABP}$それぞれの面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$について，次の$[　]$にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，$[ア]:[イ]$，$[ウ]:[エ]$および$[オ]:[カ]$については，もっとも簡単な整数比で表すこと．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}-[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となる．また，$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=[ア]:[イ]$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=[ウ]:[エ]$であり，二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$[オ]:[カ]$である．
(2)$\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると，$\mathrm{OC}=[　]$，$\mathrm{CA}=[　]$であり，$\mathrm{OB}$は$[$*$]$または$[$**$]$である．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．