$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．

(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．

$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．

$a$を正の数とする．このとき，次の関係式をみたす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{a}} f(t) \cos (at-2ax) \, dt+1 \]

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．

次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．

$x,\ y$は正の値をとる変数で，$x+y=a$（$a$は定数）を満たす．$\displaystyle z=\log_2 \frac{1}{x}+\log_\frac{1}{2}y$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$z$を$x$と$y$の積$xy$を用いて表せ．
(2)$z$の最小値を$a$を用いて表せ．
(3)$x+y=a$を満たす全ての正の数$x,\ y$に対して，$z>0$であるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

$2$次関数$y=-x^2+3$のグラフを$C_1$とし，$1$次関数$y=2x+3$のグラフを$\ell_1$とする．以下の$2$つの条件を満たす放物線を$C_2$とする．

条件$1.$ $C_2$は$C_1$を平行移動した放物線であり，点$(1,\ 2)$は$C_1$と$C_2$の共有点である．
条件$2.$ $C_2$の頂点は$\ell_1$上にあり，その$x$座標は正の数である．

$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$\ell_2$とする．

(1)$C_2$をグラフとする$2$次関数は$y=[ア]$である．
(2)$\ell_2$をグラフとする$1$次関数は$y=[イ]$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積は$[ウ]$である．

$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数で$a \neq 0$とする）がある．$d$を正の数として，$f(0)=p$，$f(d)=q$，$f(2d)=r$とおく．

(1)$a,\ b,\ c$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(2)$\displaystyle S_1=\int_0^{2d} f(x) \, dx$を$p,\ q,\ r,\ d$で表せ．
(3)$\displaystyle S_2=\int_0^{2d} |f(x)| \, dx$とおく．$p=1$，$q=0$，$r=3$および$d=1$のとき，$S_2-S_1$を求めよ．