タグ「機械」の検索結果

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防衛医科大学校 国立 防衛医科大学校 2015年 第2問
スイッチを押すと,$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある.表示される数字を$X$とすると,$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である.ただし,$C$は定数,$0<\alpha<1$である.

(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ($k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$).
(3)確率$p$で$1$点もらえ,確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える($0<p<1$).この試行を独立に$m$回行ったとき,$l$点($0 \leqq l \leqq m$)もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す.このとき,$m,\ l$を一定とし,$p$を変数とみなして以下の問に答えよ.

(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか.$p$を横軸,$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け.ただし,$\log$は自然対数である.
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ.

(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする.このとき,$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
ボタンを$1$回押すたびに$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの数字が$1$つ画面に表示される機械がある.このうちの$1$つの数字$Q$が表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{k}$であり,$Q$以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする.ただし,$k$は$k>6$を満たす自然数とする.

ボタンを$1$回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき,$1$回目に$4$の数字,$2$回目に$5$の数字が表示される確率は,$1$回目に$5$の数字,$2$回目に$6$の数字が表示される確率の$\displaystyle \frac{8}{5}$倍である.このとき,

(1)$Q$は$[$59$]$であり,$k$は$[$60$]$である.
(2)この試行を$3$回繰り返すとき,表示された$3$つの数字の和が$16$となる確率は
\[ \frac{[$61$][$62$][$63$]}{\kakkofour{$64$}{$65$}{$66$}{$67$}} \]
である.
(3)この試行を$500$回繰り返すとき,そのうち$Q$の数字が$n$回表示される確率を$P_n$とおくと,$P_n$の値が最も大きくなる$n$の値は$[$68$][$69$]$である.
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2014年 第1問
新しく購入した機械は,購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている.検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である.定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる.検査は無料であるが,修理は有料である.$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり,$r$年目($r=2,\ 3,\ 4$)の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である.以下の問に答えなさい.

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする.$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい.
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す.$X$のとり得る値とその確率を表にし,$X$の期待値を$p$の式で表しなさい.
(3)$p=0.1$とする.購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと,修理費用は無料となる.$4$年間保証に加入することと,修理時に費用を支払うのとでは,どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい.
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2014年 第1問
新しく購入した機械は,購入$1$年目から$1$年間隔で$4$回の定期検査を受けることになっている.検査で異常が見つかる確率は毎回同じで$p (0<p<1)$である.定期検査で異常が見つかった場合のみ修理が行われる.検査は無料であるが,修理は有料である.$1$年目の検査で異常が見つかった場合の修理費用は$80000$円であり,$r$年目($r=2,\ 3,\ 4$)の検査で異常が見つかった場合の修理費用は
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
80000 \times r \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で異常なしの場合} \\
0 \text{(円)}, & \text{ただし,前回までの検査で修理を受けている場合}
\end{array} \right. \]
である.以下の問に答えなさい.

(1)$r=1,\ 2,\ 3,\ 4$とする.$r$年目の検査で初めて異常が見つかる確率$P$と$r$年目の検査が終わるまで異常が見つからない確率$Q$とをそれぞれ$r$と$p$を用いた式で表しなさい.
(2)購入してから$4$年目の検査が終わるまでの修理費用を$X$で表す.$X$のとり得る値とその確率を表にし,$X$の期待値を$p$の式で表しなさい.
(3)$p=0.1$とする.購入時に$4$年間保証として$70000$円を支払うと,修理費用は無料となる.$4$年間保証に加入することと,修理時に費用を支払うのとでは,どちらが得であるかを$X$の期待値を計算して検討しなさい.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2013年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$a,\ b,\ c$を実数として,$A,\ B,\ C$を
\[ A=a+b+c,\quad B=a^2+b^2+c^2,\quad C=a^3+b^3+c^3 \]
とおく.このとき$abc$を$A,\ B,\ C$を用いて表せ.
(2)$n$を自然数とする.このとき
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2} \]
を求めよ.
(3)ボタンを押すと$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$,$\mathrm{Z}$いずれかの文字が画面に表示される機械がある.その機械では,$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が表示される確率は,等しくかつ$\mathrm{Z}$が表示される確率の$2$倍である,とする.いま,ボタンを$5$回続けて押す.このとき,($\mathrm{XYZYX}$のように)$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$,$\mathrm{Z}$すべての文字が少なくとも$1$回表示される確率を求めよ.
(4)逆行列をもつ$2$次の正方行列$A$が表す$1$次変換が,円$C:(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=3^2$上の点を$C$上の点に移すとき,$A$を求めよ.ただし,$A$は単位行列と異なる行列とする.
(5)定積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sin x+\cos x} \, dx \]
を求めよ.
上智大学 私立 上智大学 2011年 第3問
ボタンを押すと,$0$と$1$のどちらか一方の数字を表示する機械がある.ボタンを連続して押すとき,直前に表示された数字と同じ数字が再び表示される確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$,違う数字の表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$である.ただし,始めにボタンを押すときには,$0$と$1$が表示される確率は等しい.

(1)$4$回連続してボタンを押すとき,$4$回とも同じ数字が表示される確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である.また,$4$回目に表示された数字が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である.
(2)$4$回連続してボタンを押すときに表示される数字の合計が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である.また,合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である.
(3)始めに表示された数字が$1$のとき,さらに$4$回連続してボタンを押して表示される$4$つの数字の合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}$である.
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