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九州大学 国立 九州大学 2015年 第3問
座標空間内に,原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球がある.下の概略図のように,$y$軸の負の方向から仰角$\displaystyle \frac{\pi}{6}$で太陽光線が当たっている.この太陽光線はベクトル$(0,\ \sqrt{3},\ -1)$に平行である.球は光を通さないものとするとき,以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)球の$z \geqq 0$の部分が$xy$平面上につくる影を考える.$k$を$-1<k<1$を満たす実数とするとき,$xy$平面上の直線$x=k$において,球の外で光が当たらない部分の$y$座標の範囲を$k$を用いて表せ.
(2)$xy$平面上において,球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ.
(3)$z \geqq 0$において,球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ.
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