曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．

(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$を実数とし，$x>0$とする．$t$を変数とする2次関数$f(t)=xt^2+yt$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値と最小値の差を求めよ．
(2)次の条件を満たす点$(x,\ y)$の全体からなる座標平面内の領域を$S$とする．\\
$x>0$かつ，実数$z$で$0 \leqq t \leqq 1$の範囲の全ての実数$t$に対して
\[ 0 \leqq xt^2+yt +z \leqq 1 \]
を満たすようなものが存在する．\\
$S$の概形を図示せよ．
(3)次の条件を満たす点$(x,\ y,\ z)$全体からなる座標空間内の領域を$V$とする．\\
$0 \leqq x \leqq 1$かつ，$0 \leqq t \leqq 1$の範囲の全ての実数$t$に対して，
\[ 0 \leqq xt^2+yt + z \leqq 1 \]
が成り立つ．\\
$V$の体積を求めよ．

$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$xyz$空間の3点A$(5,\ 0,\ 0)$，B$(4,\ 1,\ 0)$，C$(5,\ 0,\ \sqrt{2})$が定める平面を$T$，$T$上にあって点Aを中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Pは円$U$の周上にある．$\angle \text{PAB}=\theta \ (0 \leqq \theta <2\pi)$とするとき，Pの座標$(u,\ v,\ r)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)2点D$(10,\ 0,\ 0)$，Pを通る直線が$yz$平面と交わる点をQ$(0,\ Y,\ Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)の$Y,\ Z$から$\theta$を消去して，Qの軌跡が楕円になることを示せ．また，その楕円の概形を$yz$平面上に図示せよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-x^2+4x \quad (x \leqq 0,\ x \geqq 2 \text{のとき}) \\
x^2 \qquad\qquad\;\! (0<x<2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
とする．座標平面上の曲線$C:y=f(x)$と直線$\ell:y=x$で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$S$の値を求めよ．

次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

次の方程式で表される曲線$C$を考える．
\[ C:|x-100|=y |y-3|e^y \]

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．

(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=2 \log \frac{2+\sqrt{4-x^2}}{x}-\sqrt{4-x^2}$を考える．ただし，対数は自然対数である．以下の問いに答えなさい．

(1)関数$f(x)$の定義域は$0<x \leqq a$である．$a$の値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$の概形をかきなさい．なお，$y$の増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい．
(3)$0<x_0<a$とし，上問$(2)$の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．ただし，$a$は上問$(1)$で求めた値とする．