$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある．$C_1$，$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) (-1<t<1)$をとり，$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と，$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を，$t$についての$2$次方程式で表し，その解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$を求めよ．
(3)$\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき，その交点の$y$座標を$y_t$とする．

(i) $y_t$を$t$を用いて表せ．
(ii) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し，この範囲における$y_t$の最小値を求めよ．

関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
2x+1 & \displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \\
2x+\sin x & \displaystyle \left( x \geqq \frac{\pi}{2} \right) \phantom{\frac{[ア]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定め，関数$g(x)$を，$g(x)=f(2x)-2f(x) (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と定める．

(1)関数$g(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C:y=g(x)$の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3)区間$[0,\ 2\pi]$で，曲線$C$と$x$軸の間にある部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

媒介変数$t \ (0 < t \leqq \pi)$を用いて
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される$xy$平面上の曲線を$C_1$，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x=\cos \theta \sin t-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \sin 2t \\　\\
\displaystyle y=\sin \theta \sin t+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される曲線を$C_2$とする．ここで，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$xy$平面上に$C_1$の概形を描け．
(2)直線$y=-\sqrt{3}x+k$が，$C_1$と少なくとも1点を共有するための実数$k$の条件を求めよ．
(3)直線$y=(\tan \theta)x+l$が，$C_2$と少なくとも1点を共有するための実数$l$の条件を求めよ．
(4)$C_1$が囲む領域の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+\sin x)\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．

(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a$を正の実数とする．$t$を媒介変数として
\[ x(t)=\cos 2t,\ y(t)=\sin at \quad (-\pi \leqq t \leqq \pi) \]
で表される曲線$C$について，以下の問に答えよ．

(1)$a=1$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(2)$a=2$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(3)定積分
\[ \int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt \]
の値を，$a \neq 2$と$a=2$のそれぞれの場合について求めよ．
(4)(3)で求めた定積分の値を$a$の関数と考えて$\displaystyle P(a)=\int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to 2}P(a)$の値を求めよ．

放物線$C:y=x^2-x+1$について，次の問に答えよ．

(1)点$(0,\ 0)$を通り，放物線$C$に接する2つの直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と，(1)で求めた2つの接線で囲まれる図形を$D$とするとき，$C$と接線の概形をかき，$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．

(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．

関数$\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$x>0$における曲線$y=f(x)$の概形を書きなさい．
(2)$t>0$のとき，3直線$y=0,\ x=t,\ x=t+2$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t>0$における$S(t)$の最小値を求めなさい．

曲線$y^2-2xy+x^3=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$x$および$y$は$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の実数とする．

(1)$y$についての解を求めよ．
(2)曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=x$と曲線のうち$y \geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

曲線$\displaystyle \frac{(x-5)^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする．

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V_1$を求めよ．
(3)曲線$C$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V_2$を求めよ．