関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

区間$0<x<\pi$で関数$y=f(x)=\cos (\sqrt{2}x)$を考え，そのグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \cos (\sqrt{2} \theta))$における$C$の法線を$\ell$，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$g(\theta)$とする．ただし，点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，点$\mathrm{P}$を通りかつ$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の増減の様子を調べ，$C$の概形をかけ．さらに，$f(x)$の最小値を与える$x$の値，および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(5)$\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき，$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ．

方程式$x^4-6x^2-4y^2+8y+5=0$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の周囲の長さを求めよ．なお，曲線$y=f(x) (a \leqq x \leqq b)$の長さは次の積分で求められることを使ってよい．
\[ \int_a^b \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx \]

関数$f(x)=x^2-4 |x+2|+2x+4$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフに$2$点で接する直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線と$y=f(x)$が囲む部分の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=(\log x)^2+\frac{3}{4} (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx},\ \frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ．また，$\displaystyle \frac{dy}{dx}>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$の接線で原点$(0,\ 0)$を通るものを求めよ．
(3)曲線$C$の概形と$(2)$で求めた接線を描け．
(4)$(2)$で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(5)$(4)$で求めた点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を空間のベクトルとし，$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=0$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$に平行な平面$\alpha$がある．点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その足を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$のうち，必要なものを用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{3}$となるように点$\mathrm{P}$が動くとする．このとき，$x,\ y$から定まる点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡を求め，その概形をかけ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

曲線$C$は媒介変数$\displaystyle t \ \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$によって，$\displaystyle x=\sqrt{\cos t}\cos \frac{t}{2}$，$\displaystyle y=\sqrt{\cos t}\sin \frac{t}{2}$と表される．

(1)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を求めよ．
(2)$x,\ y$の$t$に関する増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$|k|<1$または$k>1$を満たす実数$k$に対し，次の$2$次曲線$C(k)$を考える．
\[ C(k):\frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1 \]
以下の問いに答えよ．

(1)点$(1,\ 1)$を通る曲線$C(k)$をすべて求めて，その概形をかけ．
(2)曲線$C(3)$が点$(a,\ b) \ (a>0,\ b>0)$を通るとき，$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．またこのとき，点$(a,\ b)$を通る曲線$C(k) \ (k \neq 3)$の方程式を，$b$を用いて表し，その焦点を求めよ．
(3)(2)の$2$つの曲線$C(3)$，$C(k)$について，点$(a,\ b)$における$C(3)$，$C(k)$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$のなす角度を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{\log x}{x}$について，次の問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$C$の変曲点$\mathrm{P}$における，$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\ell$と$C$は，$\mathrm{P}$以外に共有点をもたないことを示せ．