$\alpha$は$0<\alpha<\pi$を満たす実数，$n,\ k$は正整数として，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を$\displaystyle \cos \frac{(2k-1) \alpha}{2n}$と$\displaystyle \cos \frac{(2k+1) \alpha}{2n}$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \alpha}{n}$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\alpha}{2n}$を求めよ．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を求めよ．

$\theta_1,\ \theta_2,\ a,\ b$は$\displaystyle 0<\theta_1<\theta_2<\frac{\pi}{2}$，$0<a<b$を満たす実数とする．連立不等式
\[ a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,\quad 0 \leqq y \leqq (\tan \theta_1)x \]
の表す領域を$D$とし，連立不等式
\[ a^2 \leqq x^2+y^2 \leqq b^2,\quad (\tan \theta_1)x \leqq y \leqq (\tan \theta_2)x \]
の表す領域を$E$とする．次の問いに答えよ．

(1)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{\theta_2 \to \theta_1+0} \frac{W}{\theta_2-\theta_1}$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内に曲線$C:y=\log (x+1)$，点$\mathrm{P}(t,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(t,\ \log (t+1))$を考える．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$軸，直線$x=t$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$T(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{T(t)}{S(t)} \]
(3)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(4)台形$\mathrm{OPQR}$の面積を$U(t)$とする．次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{t \to \infty} \frac{U(t)}{S(t)} \]

次の$[　]$にあてはまるものを入れよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{[ア]}{[イ]}, \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=[ウ], \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[エオ]}{[カキ]} \]
である．
(2)恒等式
\[ \frac{3}{(2x-1)(x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{x+1} \]
が成り立つなら$a=[ク],\ b=[ケコ]$である．
(3)$xy$平面上の原点に中心を持つ，半径$3$の円に，点$\mathrm{P}(5,\ 0)$から接線を引いた．このとき，接点は$2$つあり，それらの$x$座標は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．また，接線の傾きは$\displaystyle \pm \frac{[ス]}{[セ]}$である．
(4)第$n$項が
\[ \frac{4}{n-\sqrt{4n+n^2}} \]
で表される数列の極限値は$[ソタ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．

(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の極限値を求めると，$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}=[ア]$であり，

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3-(2x)^3}{h}=[イ]$である．
(2)$r$の関数$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi (r+2)^2$の導関数を求めると，$\displaystyle \frac{dV}{dr}=[ウ]$である．ただし$\pi$は円周率である．

次の各問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$の値を求めよ．
$(1$-$2)$ 極限値$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3 \cdot 1}{n^2+1^2}+\frac{n+3 \cdot 2}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n+3 \cdot n}{n^2+n^2} \right)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{a+\cos x}-b}{(x-\pi)^2}=\frac{1}{8}$となるような定数$a,\ b$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-2x}$に対し，$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (n+k)^2$とする．$S_n$を$n$の式で表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3}$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} \, dx$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$とその階差数列$\{b_n\}$に対して，
\[ a_1=1,\quad \frac{a_n}{n}=(3n-2)b_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．

(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ．

次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x-\sin (\tan x)}{x-\tan x} \]