関数$f(x)=\cos x-x \sin x,\ g_n(x)=(x+n \pi)\sin x-\cos x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たすすべての$x$について$\tan x>x$が成り立つことを用いてよい．

(1)すべての自然数$n$，実数$x$に対して$g_n(x)=(-1)^{n+1}f(x+n \pi)$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，方程式$g_n(x)=0$は$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲においてただ$1$つの解をもつことを示せ．
(3)(2)におけるただ$1$つの解を$x_n$とする．$x_n$は$\displaystyle 0<x_n<\frac{1}{n\pi}$を満たすことを示せ．
(4)$y_n=n\pi+x_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．定積分
\[ S_n=\int_{y_n}^{y_{n+1}}|f(x)| \, dx \]
を，$n,\ x_n$および$x_{n+1}$を用いて表せ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n}$を求めよ．

下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．

(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．

(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．

(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．

点$\mathrm{O}$を中心とし，長さ$2r$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円の周上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，扇形$\mathrm{OPB}$の面積を$S_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\theta (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，$S_1$と$S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の極限値を求めよ．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき，$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$[　]$である．
(2)$4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$[　]$である．
(4)円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$[　]$である．ただし，この図形は原点を含むものとする．
(5)$x$を正の実数とするとき，関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$[　]$である．
(6)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$[　]$である．
(7)バスケットボールのフリースローを，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて，成功した回数が多い方が勝ちとする．$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$[　]$である．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える．
(8)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある．カードをもとに戻すことなく，$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し，左から順に横に一列に並べる．このとき，数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$[　]$である．ただし，$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする．

$(1)$，$(2)$の問いに答えよ．また，$(3)$から$(5)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int x \sin x^2 \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^2 xe^x \, dx=[ロ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n+4^n}{3^{n+1}+4^{n+1}}=[ハ] \]
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$3 \sin x+\cos 2x+1=0$のとき，$x=[ニ]$である．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -2 \\
-3 & 4
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のとき，$(A+B)(A-B)=[ホ]$である．
(5)Oを原点とする座標空間に2点A$(1,\ 2,\ 1)$，B$(2,\ 2,\ 0)$をとる．このとき，$\cos \angle \text{AOB}=[ヘ]$，$\triangle$AOBの面積は[ト]である．

初項を$a_1=16$とする数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-6n+20$で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$に対して，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$を$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$b_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}$，$\cdots$と定義する．このとき，$b_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+n}$をみたす$k$を$n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$T_n$とするとき，極限値$\displaystyle A=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{n^4}$と極限値$\displaystyle B=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n-An^4}{n^3}$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle C=\sum_{n=1}^{24}(T_n-An^4-Bn^3)$の値を求めよ．ただし，$A$と$B$は(3)で求めた極限値である．

$n$個のボールを2$n$個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を$p_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\log p_n}{n}$を求めよ．

$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)四面体OABCにおいて，OA$\perp$BCかつOB$\perp$CAならば，OC$\perp$ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^3 e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{4n^2-k^2}$を求めよ．