関数
\[ f(x)=\left( x+\frac{1}{2} \right) \log \left( 1+\frac{1}{x} \right) \quad (x>0) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f^{\prime}(x)$の値を求め，さらに$f^\prime(x)<0$であることを証明せよ．
(3)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べ，そのグラフの概形をかけ．

以下の各問に答えよ．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+3}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$y=(x-2)^8(2x+3)^6$を微分せよ．
(3)次の定積分を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
\[ (ⅰ) \quad \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{3x+1}} \, dx \qquad (ⅱ) \quad \int_{2}^{2e} \frac{1}{2} \log \frac{x}{2} \, dx \]

数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1 t^ne^{-t} \, dt \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の各問に答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 1$のとき$t^n \leqq t$であることを用いて$\displaystyle a_n \leqq \frac{a_1}{n!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{1}{e(n+1)!} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)$を求めよ．

$n$は自然数とする．次の問に答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}<2 \]
(2)$x>0$のとき，次の不等式を示せ．
\[ x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x \]
(3)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n k \sin \frac{1}{k} \right) \]

$a,\ b$を正の実数とするとき，極限$\displaystyle c=\lim_{n \to \infty}\frac{1+b^n}{a^{n+1}+b^{n+1}}$を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a=2,\ b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．
(2)$a>2,\ b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．
(3)$b=3$のとき，$\displaystyle c=\frac{1}{3}$となる$a$の範囲を求めなさい．

$p$を定数とする．初項$a_1=1$の数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\[ a_{n+1}-\frac{a_n}{2} \text{は整数，かつ} -\frac{1}{2}<a_{n+1}-p \leqq \frac{1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(2)$p=1$のとき，$b_n=a_{2n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(3)$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．

$a$を正の定数とし，次のように定められた$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
a_1=a,\quad a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \left( a_n+\displaystyle\frac{4}{a_n} \right) & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_n=\displaystyle\frac{a_n-2}{a_n+2} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$-1<b_1<1$であることを示せ．
(2)$b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．さらに，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3)$b_3,\ b_4$をそれぞれ$b_1$を用いて表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n>1$となることを示せ．
(2)$\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ．
(4)$0<r<1$を満たすある実数$r$に対して，不等式
\[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．