座標平面上の点B$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C_0$，$a > 0$とし，点A$(a,\ 0)$を通り$C_0$に接する2直線のうち$x$軸でない方を$\ell$とする．また，$C_0$，$x$軸，$\ell$によって囲まれる領域(境界も含む)の内部にあって，$C_0$，$x$軸，$\ell$に接する円を$C_1$，$C_1$の半径を$r$とする．さらに，$C_0$，$C_1$，$x$軸によって囲まれる領域(境界を含む)の内部にあって，$C_0$，$C_1$，$x$軸に接する円を$C_2$，$C_2$の半径を$s$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $r$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $a =\sqrt{3}$のとき，$r$はいくらか．

(2)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $s$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle a=\frac{3}{4}$のとき，$s$はいくらか．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0}\frac{r}{a^2},\ \lim_{a \to 0}\frac{s}{r}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)2次不等式$x^2+(a-3)x+a>0$がすべての実数$x$について成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( e^{\frac{1}{n}} +2e^{\frac{2}{n}} +3e^{\frac{3}{n}}+\cdots + ne^{\frac{n}{n}} \right) \]

関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．

$n,\ r$は$n \geqq r$を満たす正の整数であるとし，$x,\ y$ともに$0$以上$n$以下の整数であるような座標平面上の点$(x,\ y)$の集合を$S$とする．また，曲線$x^2+y^2=r^2 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，$x$軸，$y$軸によって囲まれる領域(境界を含む)を$D$とする．ここで，$S$からランダムに$1$点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．

関数$\displaystyle y=f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$と$y=x$のグラフを描け．
(2)$\displaystyle 1<x_0<\frac{3}{2}$に対して，$x_{n+1}=f(x_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を定義する．このとき，$x_n > x_{n+1} \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$が単調減少で，ある実数$L$に対して$a_n > L \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$ならば$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$が存在する．このことを用いて，数列$\{x_n\}$の極限を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+x) \, dx \]
(2)関数$f(x)$が区間$[0,\ 1]$で連続な増加関数であって，常に$f(x) \geqq 0$であるものとする．また，$n$を自然数とする．このとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ 0 \leqq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) -\int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{n} \{ f(1)-f(0) \} \]
(3)$f(x)=\log (1+x)$に対して(2)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \log \left\{ \left( 1+\frac{1}{n} \right) \left( 1+\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{n} \right) \right\} \right] \]

$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．

(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．

$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．

(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．

$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．

$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．