空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[　]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[　]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[　]$である．また，そのときの$s$の値は$[　]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[　]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[　]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[　]$である．

$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは変曲点をただ$1$つもつ．この変曲点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた変曲点を通り，$y$軸に平行な直線を$\ell$とする．$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} S$を求めよ．

$\displaystyle a_n=\int_0^n \frac{1}{x^2+3x+2} \, dx$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_n$を$n$の式で表せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$，直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．

$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=e^{-2x^3}$，$g(x)=xe^{-x^3}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=0$は証明なしに用いてよい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=g(x)$の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)$a \geqq 0$とし，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}e^{2a^3}V(a)$を求めよ．

$a>0$とする．$C_1$を曲線$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1$，$C_2$を直線$y=2ax-3a$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Pが$C_1$上を動き，点Qが$C_2$上を動くとき，線分PQの長さの最小値を$f(a)$とする．$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)極限値$\displaystyle\lim_{a \to \infty}f(a)$を求めよ．

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目を$\ell$，2回目に出る目を$m$，3回目に出る目を$n$で表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．

(1)極限値
\[ \lim_{x \to -1} \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
\[ f(x) = \frac{l x^2+mx+n}{x+1} \]
が，$x > -1$の範囲で極値をとる確率を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle x- \frac{x^3}{6} \leqq \sin x \leqq x$を示せ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30} \leqq \int_0^x t\sin t\, dt \leqq \frac{x^3}{3}$を示せ．
(3)極限値
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x\cos x}{x^3} \]
を求めよ．

$p$と$q$はともに整数であるとする．2次方程式$x^2 + px+q = 0$が実数解$\alpha,\ \beta$を持ち，条件$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \neq 0$をみたしているとする．このとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ．
(2)$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

以下の問に答えよ．

(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．

\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．

(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．