$X_1=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array} \right)$，$X_2=\left( \begin{array}{cc}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，
\[ \begin{array}{r}
X_n=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{9}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-1}-\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-2}+\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right) \\
(n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)
\end{array} \]
で定義される$2$次の正方行列の列がある．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とする．$C=P^{-1}(kA+lB)P$を満たす実数$k$と$l$を求めよ．
(2)$C+C^2+\cdots +C^n=\left( \begin{array}{cc}
\alpha_n & \beta_n \\
\gamma_n & \delta_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\alpha_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\beta_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\gamma_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n$を求めよ．
(3)$X_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$としたとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$が存在するかどうかを考察し，存在する場合はその値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=4,\quad a_{n+2}=-a_{n+1}+12a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$b_n=a_{n+1}-3a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_{n+1}+4a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=4,\quad a_{n+2}=-a_{n+1}+12a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$b_n=a_{n+1}-3a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=a_{n+1}+4a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$i$を虚数単位とする．等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．

実数$t$の関数$\alpha(t),\ \beta(t)$を$\displaystyle \alpha(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$，$\displaystyle \beta(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$で定める．実数の定数$p$に対して点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$x$座標および$y$座標を，複素数
\[ z=\frac{ip \alpha(t)+\beta(t)}{ip \beta(t)+\alpha(t)} \]
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただし$i$は虚数単位とする．

(1)$\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し，$x,\ y$を$t$の関数として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．
(3)$p \neq 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．

下の図のように，$F_1$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とする．$F_1$の$3$つの辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_1$の外側に追加して得られる多角形を$F_2$とする．次に，$F_2$の$12$個の辺のそれぞれを$3$等分し$3$つの線分に分ける．この$3$つの線分の中央の線分に，その線分を$1$辺とする正三角形を$F_2$の外側に追加して得られる多角形を$F_3$とする．以下同様にして，$F_4,\ F_5,\ F_6,\ \cdots$を作るものとする．$F_n$の辺の個数を$K_n$，周の長さを$L_n$，面積を$S_n$とする．
（図は省略）

(1)$K_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(2)$L_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(3)$S_1$と$S_n-S_{n-1} (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)$S_n (n \geqq 1)$を求めよ．
(5)数列$\{L_n\}$の極限を調べよ．
(6)数列$\{S_n\}$の極限を調べよ．

次の問に答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．

(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=(2x-1)^2 e^{\frac{1}{x}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)関数$y=e^{\frac{1}{x}}$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)$を調べよ．
(4)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．

(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．

(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．

(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．

\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．

定数$a (a>1)$に対して曲線$y=a^x$，$x$軸および$y$軸，直線$x=1$で囲まれた図形を$S$とし，曲線$y=a^{2x}$，曲線$y=a^x$および直線$x=1$で囲まれた図形を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$W(a)$を求めよ．
(3)$V(a)=W(a)$となる$a$の値を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1+0} \frac{W(a)}{a-1}$を求めよ．