「極限」について
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(14ページ目:全244問中131問~140問を表示)![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$n$は自然数とする.
(1)$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して
\[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \]
が成り立つことを示せ.
(2)媒介変数$t$によって
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ.ただし必要なら
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \]
を用いてよい.
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(図は省略)
(1)$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$に対して
\[ \int_{\frac{k-1}{2n}\pi}^{\frac{k}{2n}\pi} \sin 2nt \cos t \, dt=(-1)^{k+1} \frac{2n}{4n^2-1} \left( \cos \frac{k}{2n}\pi+\cos \frac{k-1}{2n}\pi \right) \]
が成り立つことを示せ.
(2)媒介変数$t$によって
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2nt \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
と表される曲線$C_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ.ただし必要なら
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \cos \frac{k}{2n}\pi=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{\tan \displaystyle\frac{\pi}{4n}} -1 \right) \quad (n \geqq 2) \]
を用いてよい.
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(図は省略)
![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して,曲線$y=f(x)$を$C$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$,および,$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ.
(2)曲線$C$の概形をかけ.
(3)曲線$C$について,傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$C$,(3)で求めた接線$\ell$,直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ.
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$,および,$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ.
(2)曲線$C$の概形をかけ.
(3)曲線$C$について,傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$C$,(3)で求めた接線$\ell$,直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ.
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}(\log (n+k)-\log n) \]
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}(\log (n+k)-\log n) \]
![徳島大学](./img/univ/tokushima.png)
$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし,$n$を自然数とする.また,
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく.
(1)$A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(3)$a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす.$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(4)$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ.
a & -a \\
-b & b
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし,$n$を自然数とする.また,
\[ E+A+A^2+\cdots +A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right) \]
とおく.
(1)$A^2=cA$となる定数$c$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)行列$A^n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(3)$a,\ b$は正の数で$a+b<1$を満たす.$p_n$を$a,\ b$および$n$を用いて表せ.
(4)$\displaystyle a=\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{3}$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ.
![電気通信大学](./img/univ/dentsu.png)
関数$\displaystyle y=\frac{e^x}{e^x+e^{-x}}$について以下の問いに答えよ.
(1)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^1 y \, dx$を求めよ.
以下では,$n$は自然数とする.
(2)$\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y \, dx$を求めよ.
(3)$\displaystyle J_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y(1-y) \, dx$を求めよ.
(4)$\displaystyle K_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y^2 \, dx$とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}K_n$を求めよ.
(1)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^1 y \, dx$を求めよ.
以下では,$n$は自然数とする.
(2)$\displaystyle I_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y \, dx$を求めよ.
(3)$\displaystyle J_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y(1-y) \, dx$を求めよ.
(4)$\displaystyle K_n=\frac{1}{n}\int_{-n}^n y^2 \, dx$とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}K_n$を求めよ.
![奈良女子大学](./img/univ/narajoshi.png)
座標平面上に,直線$\displaystyle y=\frac{4}{3}x$と$y$軸の両方に接する円$C$がある.その円$C$の中心の座標を$(a,\ b)$とする.ただし,$a>0$かつ$b<0$とする.次の問いに答えよ.
(1)$b$を$a$を用いて表せ.
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし,$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく.このとき,$t$を$a$を用いて表せ.また,$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ.
(1)$b$を$a$を用いて表せ.
(2)点$(0,\ 3)$と点$(a,\ b)$を通る直線を$\ell$とし,$\ell$と$x$軸との交点の座標を$(t,\ 0)$とおく.このとき,$t$を$a$を用いて表せ.また,$a \to \infty$のときの$t$の極限値を求めよ.
![奈良女子大学](./img/univ/narajoshi.png)
$n$を正の整数とする.袋の中に,$1$から$4n$までの数字が$1$つずつ書かれた$4n$枚のカードが入っている.ただし,異なるカードには異なる数字が書かれているものとする.この袋から,カードを$1$枚ずつ$2$回取り出す.ただし,取り出したカードは袋に戻さないものとする.取り出された$2$枚のカードに書かれた数字の和が$6n$以下となる確率を$P_n$とおく.次の問いに答えよ.
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ.
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ.また,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
(1)$P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ.
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ.また,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を$2$以上の自然数とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ.
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して,次の不等式を証明せよ.
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ.
(1)$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ.
(2)関数$y=\log x$の定積分を利用して,次の不等式を証明せよ.
\[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3)極限値
\[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \]
を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
下図のように,$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$,$A_2$,$A_3$,$\cdots$がある.正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし,$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする.
(例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$)
(図は省略)
(1)$a_n$の一般項を求めよ.
(2)$S_n$の一般項を求めよ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を,ある関数の定積分を用いて表し,この極限値を求めよ.
(例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$)
(図は省略)
(1)$a_n$の一般項を求めよ.
(2)$S_n$の一般項を求めよ.
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を,ある関数の定積分を用いて表し,この極限値を求めよ.
![防衛医科大学校](./img/univ/boueiidai.png)
$-\infty<x<\infty$で定義される$2$つの関数$f(x)=|\cos x|\sin x$,$g(x)=e^{-x}f(x)$について,以下の問に答えよ.
(1)$y=f(x)$のグラフを描け.ただし,$x$の範囲は,$0 \leqq x \leqq 4\pi$とせよ.
(2)すべての$x$に対し,$f(x)=f(x+T)$を満たす正の数$T$のうち,最小の値$\omega$を求めよ.
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \, dx$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_0^{n \omega}g(x) \, dx$を求めよ.
(1)$y=f(x)$のグラフを描け.ただし,$x$の範囲は,$0 \leqq x \leqq 4\pi$とせよ.
(2)すべての$x$に対し,$f(x)=f(x+T)$を満たす正の数$T$のうち,最小の値$\omega$を求めよ.
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \, dx$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_0^{n \omega}g(x) \, dx$を求めよ.