以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

$a,\ b$は定数とする．関数$f(x)=e^{-x} \sin x$，$g(x)=e^{-x} (a \cos x+b \sin x)$について，次の問いに答えよ．

(1)すべての$x$に対して$\displaystyle \frac{d}{dx}g(x)=f(x)$となるように$a,\ b$の値を定めよ．
(2)$(2k-1) \pi \leqq x \leqq 2k \pi (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の範囲で，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_k$を$k$の式で表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$\alpha$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2)$B^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\alpha & -\sin n\alpha \\
\sin n\alpha & \cos n\alpha
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$A_n=r_n \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta_n & -\sin \theta_n \\
\sin \theta_n & \cos \theta_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n^2} \left( \cos \frac{\pi}{2n}+2 \cos \frac{2\pi}{2n}+\cdots +n \cos \frac{n\pi}{2n} \right) \]

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．

三角関数の極限に関する公式
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
を示すことにより，$\sin x$の導関数が$\cos x$であることを証明せよ．

実数$p,\ q$と自然数$n$に対して
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle \frac{5}{2} & 2 \\
-\displaystyle \frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=0$かつ$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0$とする．このとき$p$と$q$がみたす条件を求めよ．
(2)$(p,\ q) \neq (0,\ 0)$とする．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{y_n}{x_n}$を求めよ．

曲線$C:y=e^x$について以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ e^p)$における接線$\ell$および法線$n$の方程式を求めよ．
(2)$p>0$とする．$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S(p)$とする．また$C$と$n$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$T(p)$とする．このとき極限$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\frac{pT(p)}{S(p)}$を求めよ．

$0<t<1$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle C_1:y=t \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$y=2 \sin x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$t$を用いて表せ．
(2)2曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．また，2曲線$C_1,\ C_2$と，$x$軸上の2点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$，$(\pi,\ 0)$を結ぶ線分で囲まれた図形の面積を$T(t)$とする．このとき，$S(t)$と$T(t)$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}\frac{t^2T(t)}{S(t)}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{7}{2} & \displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{7}{2}
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y,\ u,\ v$が，$xA+yE=uA+vE$を満たすならば，$x=u,\ y=v$であることを示せ．
(2)$A=a_1A+b_1E,\ A^2=a_2A+b_2E$となる実数$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2$を求めよ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる実数$a_n,\ b_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，実数$c_n,\ d_n$が
\[ A+A^2+A^3+\cdots +A^n=c_nA+d_nE \]
を満たしているとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{c_n}{d_n}$を求めよ．