次の問いに答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{1-\cos \alpha}{\alpha^2}$を求めよ．
(2)$\alpha$を$0$でない実数とするとき，定積分$\displaystyle \int_0^2 (x+1) \cos (\alpha x) \, dx$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた定積分の値を$I(\alpha)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0}I(\alpha)$を求めよ．

正の実数$a$に対して$\displaystyle f(a)=\int_{-a}^a \frac{e^x}{e^{2x}+3e^x+2} \, dx$とおく．

(1)$f(a)$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} f(a)$を求めよ．

つぎの$[　]$にあてはまる答を記せ．

(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．

(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．

(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．

(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{3} & 7 \\
0 & 3
\end{array} \right)$に対し，
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
5
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$b_{n+1}=b_1a_n+d_1b_n,\ b_{n+1}=a_1b_n+b_1d_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$A^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{\sqrt{{p_n}^2+{q_n}^2}}$の値を求めよ．

行列$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$について考える．点$\mathrm{P}_0$の座標を$(1,\ 0)$とし，$n$を正の整数とするとき，$f$によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移される点を$\mathrm{P}_n$とする．また，$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_k}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}_n}$となる点$\mathrm{Q}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とし，$n \to \infty$のときに$x_n,\ y_n$がともに収束する場合の点$\mathrm{Q}_n$の極限値$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n \right)$を求めよう．

(1)$\displaystyle r=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle A^3=\frac{[アイ]}{[ウ]} \left( \begin{array}{cc}
[エ] & [オ] \\
[オ] & [エ]
\end{array} \right)$であり，$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[カ]}{[キクケ]},\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[キクケ]} \right)$である．
(2)$E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は，$r=[サ]$かつ$\theta=[シ]$である．ただし，$E$は単位行列とする．
$E-A$が逆行列をもつとき，$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \]
また，$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & 1-r \cos \theta
\end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると
\[ T=\left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ] & -r \sin \theta+r^n [ソ]-r^{n+1} [タ] \\
r \sin \theta-r^n [ソ]+r^{n+1} [タ] & 1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ]
\end{array} \right) \]
である．ただし，$[ス]$，$[セ]$，$[ソ]$，$[タ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \]
$0 \leqq r<1$のとき，$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し，さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると，
\[ \mathrm{Q}=\left( \frac{[チ]-r}{[ツ]-2r+[テ]r^2},\ \frac{\sqrt{[ト]}r}{[ツ]-2r+[テ]r^2} \right) \]
である．

座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t \neq -1,\ 3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．

(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_1^e x^5 \log x \, dx$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n (x^k)^k$とする．微分係数$f^\prime(1)$を$n$で表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2+x}-3x}{1-\displaystyle\frac{1}{x} \cos x}$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3)定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し
\[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \]
と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．

$xy$平面において，$x$軸の正の部分に中心$\mathrm{A}$をもつ半径$1$の円$C$が，直線$\displaystyle y=x \tan t (0<t<\frac{\pi}{2})$に点$\mathrm{P}$で接している．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めなさい．
(2)$x$軸の正の部分と円$C$と直線$y=x \tan t$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転した立体の体積$V(t)$を求めなさい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}tV(t)$を求めなさい．

$x \geqq 0$で定義された関数
\[ f_n(x)=x^a-x^{a+\frac{1}{n}} \]
を考える．ただし，$a$は正の実数とし，$n$は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)区間$[0,\ 1]$において，$f_n(x)$の最大値を与える$x$の値を$x_n$とおく．$x_n$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$を求めよ．