極方程式で表された$xy$平面上の曲線$r=1+\cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$上の点を直交座標$(x,\ y)$で表したとき，$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$となる点，および$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to \pi} \frac{dy}{dx}$を求めよ．
(3)曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ．
(4)曲線$C$の長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．

座標平面において，極方程式$r=2 \cos \theta$で表される曲線を$C$とし，$C$上において極座標が$\displaystyle \left(\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4} \right)$，$(2,\ 0)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\mathrm{A}$を中心とし，線分$\mathrm{AB}$を半径にもつ円を$D$とする．

(1)曲線$C$は直交座標において点$([ア],\ [イ])$を中心とし，半径が$[ウ]$の円を表す．
(2)直線$\ell$の極方程式は$\displaystyle r \cos \left( \theta-\displaystyle\frac{\pi}{[エ]} \right)=\sqrt{[オ]}$である．
(3)円$D$の極方程式は$\displaystyle r=[カ] \sqrt{[キ]} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{[ク]} \right)$である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，次の極方程式で表される$2$つの曲線を考える．
\[ r=f(\theta)=3 \cos \theta,\quad r=g(\theta)=1+\cos \theta \]
ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．また，極座標が$(f(\theta),\ \theta)$，$(g(\theta),\ \theta)$である点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$は，中心が直交座標で$\displaystyle \left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウ] \right)$であり，半径が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である円の周上を動く．
(2)点$\mathrm{P}(f(\theta),\ \theta)$と点$\mathrm{Q}(g(\theta),\ \theta)$の間の距離は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[カ]}$および$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}\pi$のとき最小値$[ケ]$をとり，$\theta=[コ]$のとき最大値$[サ]$をとる．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点が原点$\mathrm{O}$となるとき，点$\mathrm{P}$の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[スセ]},\ \pm \frac{[ソ] \sqrt{[タチ]}}{[ツテ]} \right)$である．

動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．

(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．

(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．

極方程式$\displaystyle r=\frac{a}{2+\cos \theta}$で与えられる2次曲線がある．ただし，$a$は正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す．$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ．また，この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bの$x$座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする．さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき，次の値は定数であることを証明せよ．
\[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．

$[タ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

一辺の長さが$2$である正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{a}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=k$より，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k \overrightarrow{a}+[ア] \overrightarrow{d} \]
が成り立つ．また，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=[イ] \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{d} \]
と表せる．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=k$より，
\[ k=[ウ]+\sqrt{[エ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\frac{[オ]-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
となる．
また，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left( [ク]+\sqrt{[ケ]} \right) \overrightarrow{a} \]
であり，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$2:[コ]+\sqrt{[サ]}$に外分する．
(3)正五角形$\mathrm{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると，
\[ \alpha^2=[シ]+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]} \]
である．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$t \overrightarrow{\mathrm{OA}} (t \geqq 0)$を始線としたとき，極座標$(r,\ \theta)$を用いて直線$\mathrm{AD}$の極方程式は$r=[タ]$と表わされる．

$[タ]$の解答群
\setstretch{2.5}
\[ \begin{array}{lll}
① 2 \cos \theta+\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ② 2 \cos \theta-\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & ③ 2 \cos \theta+2\alpha \sin \theta \\
④ 2 \cos \theta-2 \alpha \sin \theta & ⑤ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta+\sin \theta} & ⑥ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta-\sin \theta} \\
④chi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta+\alpha \sin \theta} & \maruhachi \displaystyle\frac{2}{\cos \theta-\alpha \sin \theta} &
\end{array} \]
\setstretch{1.4}

曲線$C$は極方程式$r=2 \cos \theta$で定義されているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表し，さらに図示せよ．
(2)点$(-1,\ 0)$を通る傾き$k$の直線を考える．この直線が曲線$C$と$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)のもとで，$2$交点の中点の軌跡を求めよ．